17、广义彼得森图的支配着色与不连通图的超级边反魔法优美性

广义彼得森图的支配着色与不连通图的超级边反魔法优美性

1. 广义彼得森图的支配着色

广义彼得森图在图论研究中具有重要地位，下面我们将深入探讨其支配着色的相关内容。

1.1 广义彼得森图 (P(n, 1)) 的支配色数

广义彼得森图 (P(n, 1)) 与笛卡尔积 (C_n□K_2) 同构。为了确定其支配色数 (\chi_d(P(n, 1)))，我们先来了解几个重要的引理和推论。

• 引理 2.1 ：设 (G = P_n□K_2)，((u_1, u_2, \ldots, u_n)) 和 ((v_1, v_2, \ldots, v_n)) 是 (G) 中 (P_n) 的两个副本，且 (u_iv_i \in E(G))。当 (n \equiv 1(\bmod 4)) 时，令 (G_1 = G - {u_1, v_n})；当 (n \equiv 3(\bmod 4)) 时，令 (G_2 = G - {u_1, u_n})。则 (\chi_d(G_1) = \chi_d(G_2) = \left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil + 2)。
  • 证明思路 ：
    • 首先定义了 (\Im_1) 和 (\Im_2) 分别为 (G_1) 和 (G_2) 中 (\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil) 个不相交的闭邻域集合。
    • 根据相关观察，得到 (\chi_d(G_1) \geq \left\lceil\frac{n}{2}\right\rce