28、图的支配着色与多模态医学图像压缩技术

图的支配着色与多模态医学图像压缩技术

图的支配着色相关研究

在图论的研究中，支配着色是一个重要的概念。我们先来看关于图 (G) 的支配色数 (\chi_d(G)) 的相关结论。

首先，我们证明 (\chi_d(G) > 2r)。假设 (\chi_d(G) = 2r)，设 (C = {V_1, V_2, \cdots, V_{2r}}) 是 (G) 的一个 (\chi_d) - 着色。对于每个子集 (B_i(= y_i × K_s))，其顶点所支配的 (C) 中的颜色类数量至少为 2。所以每个闭邻域 (N[B_i])（(1 \leq i \leq r)） 至少包含 (C) 中的两个颜色类。又因为 (\chi_d(G) = 2r) 且每个 (\langle{A_i \cup B_i}\rangle) 诱导出一个非平凡的二部图，那么 (C = { {A_1}, {A_2}, \cdots, {A_r}, {B_1}, {B_2}, \cdots, {B_r}})。但此时，每个 (B_j)（(1 \leq j \leq r)） 中的顶点都不能支配 (C) 中的任何颜色类，这就产生了矛盾，所以 (\chi_d(G) \geq 2r + 1)。

接着，我们证明 (\chi_d(G) \leq 2r + 1)。我们给出一个使用 (2r + 1) 种颜色的支配着色 (C’ = { {u_1^1}, {u_2^2}, \cdots, {u_r^r}, {A_1 \setminus {u_1^1}}, {A_2 \setminus {u_2^2}}, \cdots, {A_r \setminus {u_r^r}}, \bigcup_{i = 1}^{r} B