25、图论中的最小基数最大唯一受限匹配与部分 Grundy 着色问题

图论中的最小基数最大唯一受限匹配与部分 Grundy 着色问题

1. 最小基数最大唯一受限匹配问题

1.1 二分图的近似难度

对于二分图的最小唯一受限匹配（Min - UR - Matching）问题，存在一个重要定理：对于任意常数 $\epsilon > 0$，该问题无法在 $n^{1 - \epsilon}$ 因子内近似，除非 $P = NP$，其中 $n$ 表示输入图的顶点数。

证明过程如下：
1. 给定常数 $\epsilon > 0$，定义 $k = \max{2, \lceil3 / \epsilon\rceil}$。
2. 对于 3 - SAT 问题的一个实例 $(C, X)$，其中 $|C| = m$ 且 $|X| = p$，设置 $t = 2p^{k - 2}$。
3. 使用构造规则 $R$ 构建图 $G = G(C,X),t$。
4. 有一个论断：对于图 $G = G(C,X),t$，在 $p^{k - 2}$ 因子内近似 $\mu’_r(G)$ 是 NP - 难的。
5. 对 $t = 2p^{k - 2}$ 进行估计，假设 $p \geq 16$ 且 $p \geq m$，可得 $n \geq p^k$，进一步推导得出 $p^{k - 2} \geq n^{1 - 3/k} \geq n^{1 - \epsilon}$。根据上述论断，在 $n^{1 - \epsilon}$ 因子内近似 $\mu’_r(G)$ 是 NP - 难的。

1.2 链图的求解情况

链图是二分图的一个子类，对于链图，最小唯一受限匹配问题可以在线性时间内解决。