26、图着色与素距离标记研究

图着色与素距离标记研究

1. 部分Grundy着色相关内容

在图论中，部分Grundy着色是一个重要的研究方向。对于链图 (G = (X, Y, E))，其所有不同的度类可以在 (O(n + m)) 时间内计算得出，这意味着链图的最优部分Grundy着色也能在 (O(n + m)) 时间内完成。

以下是一些相关概念和定理：
- 弦图相关概念
- 弦图：若图 (G) 中每个长度至少为4的环都有弦（即连接环中两个非相邻顶点的边），则称 (G) 为弦图。
- 分裂图：图 (G = (V, E)) 是分裂图，若顶点集 (V) 可以划分为两个集合 (I) 和 (C)，其中 (C) 是一个团，(I) 是一个独立集，且分裂图是弦图的一种。
- 单纯顶点：若顶点 (v \in V(G)) 使得 (N_G[v]) 是图 (G) 的一个团，则称 (v) 是图 (G) 的单纯顶点。
- 完美消除序（PEO）：一个排序 (\alpha = (v_1, v_2, \ldots, v_n)) 是图 (G) 的完美消除序，若对于所有 (i)（(1 \leq i \leq n)），(v_i) 是 (G_i = G[{v_i, v_{i + 1}, \ldots, v_n}]) 的单纯顶点。一个图 (G) 是弦图当且仅当它有完美消除序。
- 最大邻点：若对于所有 (w \in N_G[v]) 都有 (N_G[w] \subseteq N_G[u])，则称顶点 (u \in N_G[v]) 是顶点 (v) 在图 (G) 中的最大邻点。
- 双单纯顶点：若顶点 (v) 是单纯顶点且在图 (G) 中有最大邻点，则称 (v) 为双单纯