64、连通贪心着色算法的研究

连通贪心着色算法的研究

在图着色问题中，贪心着色是一种常见的算法，但连通贪心着色有着独特的性质和研究价值。本文将深入探讨连通贪心着色的最坏情况和最好情况行为，以及相关计算复杂度问题。

1. 连通贪心着色的基本概念

为了分析连通贪心着色的最坏情况行为，我们定义了连通 Grundy 数 $\Psi_c(G)$。它是图 $G$ 能进行连通贪心 $k$ - 着色的最大 $k$ 值。显然，$\Psi_c(G) \leq \Psi(G)$，这表明连通贪心算法可以看作是贪心算法的改进版本。

对于二分图，连通贪心算法总能找到最优着色。具体来说，若 $G = (A \cup B, E)$ 是一个至少有一条边的连通二分图，那么 $\Psi_c(G) = 2$。证明过程如下：
设 $v_1 < v_2 < \cdots < v_n$ 是一个连通排序，$\Theta$ 是相应的贪心着色。不妨设 $v_1 \in A$，通过对已着色顶点数量进行归纳证明，所有 $A$ 中的已着色顶点都被染成颜色 1，$B$ 中的已着色顶点都被染成颜色 2。当没有顶点被着色时，该结论成立。当对 $v_i$（$1 \leq i \leq k$）进行着色时，若 $v_i \in A$，其任何已着色的邻居都在 $B$ 中且被染成颜色 2，所以 $\Theta(v_i) = 1$；若 $v_i \in B$，则 $i \neq 1$，其任何已着色的邻居都在 $A$ 中且被染成颜色 1，并且由于排序是连通的，至少有一个邻居已被着色，所以 $\Theta(v_i) = 2$。

然而，平面图和弦图等图类的连通贪心着色可能与最优着色相差甚远。在证明这些结果之前，我们需要一些辅助结论。