58、无限无环图的Sprague - Grundy函数研究

无限无环图的Sprague - Grundy函数研究

1. 引言

本文聚焦于以正整数为位置的双人组合游戏的Sprague - Grundy函数。在这类游戏里，两名玩家轮流行动，若玩家无法行动则判定为输。每个位置的移动选项不受玩家轮次影响，这在组合博弈论中被称作无偏博弈。

游戏图以正整数为顶点，若在位置 $q$ 有移动到位置 $r$ 的选项，则存在从 $q$ 到 $r$ 的有向边。组合游戏的分析很大程度上依赖于对其游戏图的特定着色。

有向图的Grundy着色是用非负整数为点着色，使得每个点都有指向更小颜色点的有向边，且没有指向相同颜色点的边。对于有限无环有向图，存在唯一的Grundy着色。可以通过对从顶点 $v$ 出发的最长路径长度进行归纳来定义，每个顶点获得未分配给从它出发的边的另一端点的最小颜色，没有出边的顶点颜色为0。同理，对于每个顶点通过有向路径只能到达有限个顶点的无限有向图，也存在唯一的Grundy着色。

常见的假设是每个位置的移动次数有限，且从任何给定位置出发，游戏会在有限步内结束。若这两个条件都满足，即使游戏图是无限的，也满足上述两个条件，从而有唯一的Grundy着色。

2. 定义

• 符号说明 ：$\mathbb{N}$ 表示正整数集，$\mathbb{N}_0$ 表示非负整数集。对于有限集 $S \subset \mathbb{N}_0$，$\text{mex}S$ 是不在 $S$ 中的最小非负整数，且 $\text{mex}S \leq |S|$。

• 游戏图 ：