18、批量中不良签名识别代码的研究与应用

批量中不良签名识别代码的研究与应用

1. 相关引理与定义

• 引理 3 ：给定由 $(v×u)$ 矩阵 $A$ 确定的识别码。若存在参数 $k ≤ u$ 以及索引序列 $(A_{i1}, \ldots, A_{ik})$，使得 $\bigvee_{j = 1}^{k} A_{ij} = \begin{bmatrix} 1 \ \vdots \ 1 \end{bmatrix} \stackrel{\text{def}}{=} 1_v$（其中 $\bigvee_{j = 1}^{k}$ 表示逐位逻辑或，$1_v$ 是长度为 $v$ 且元素全为 1 的二进制向量），则该识别码最多能识别 $k$ 个不良签名。
  • 证明 ：设 $A = {A_1, \ldots, A_u}$ 为矩阵 $A$ 的所有索引（列）的集合。创建两个集合：$A_1 = {A_{i1}, \ldots, A_{ik}}$ 和 $A_2 = A \setminus A_1$。采用反证法，假设能识别任意 $t = k + 1$ 个不良签名。取 $k$ 个不良签名的索引序列 $(A_{i1}, \ldots, A_{ik})$，其校验子为 $1_v$。若存在额外的不良签名，那么 $t$ 个不良签名的集合将具有相同的校验子，产生冲突，从而得到矛盾。
• 定义 3 ：一个具有二进制元素的 $(k + 1)n×n^2$ 矩阵 $A$ 是或校验矩阵，需满足每列有 $k + 1$ 个 1，每行有 $n$ 个 1，且任意两列的内积为 0 或 1。