AtCoder 259E LCM

最新推荐文章于 2026-01-09 13:11:39 发布

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#c++ #开发语言

文章提出了一个数学问题，涉及将整数n个数表示为质因数的唯一分解形式，并探讨当将其中一个数改为1时，所有可能的lcm（最小公倍数）的变化。解决方案主要关注质因数的最高次幂，指出只有当某质因数的最高次幂在数列中独一无二时，改变该数才会对lcm产生影响。通过维护每个质因数的最高次幂和出现次数，可以计算出不同lcm的数量。最后，使用集合存储不同乘积，集合的大小即为答案。

题意：

以唯一分解形式给出 $n$ 个数：
$a_{i}=p_{i,1}^{e_{i,1}}p_{i,2}^{e_{i,2}}...p_{i,t}^{e_{i,t}}$
现在可以将某个数改为 $1$ ，求所有改法中，有多少个不同的 $lcm(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

Solution:

由于涉及 $l c m$ ，不妨将各个数改写成这样的形式
$a_{1}=2^{e_{1,1}}3^{e_{1,2}}5^{e_{1,3}}.... \\ ... \\ a_{n}=2^{e_{n,1}}3^{e_{n,2}}5^{e_{n,3}}....$
那么
$lcm(a_{1},a_{2},...,a_{n})=2^{max\{e_{1,1},e_{2,1},...,e_{n,1}\}}3^{max\{e_{1,2},e_{2,2},...,e_{n,2}\}}...$
考虑删掉一个数的影响，即将某个数 $a_{k}$ 设为1
$a_{k}=2^{0}3^{0}5^{0}....$
对于一个质数底 $p_{k,i}$ ，如果他的幂是 $n$ 个数里同底的唯一最高次的话，删去他才会对 $l c m$ 有影响，如果两个数的唯一最高次的底的构成是一样的，那么对这两个数的操作是等价的，于是考虑存在多少个不同的构成的数。

由于唯一分解内，不同的构成的乘积一定不同，于是可以用他们的乘积代表他们的构成，用一个map来指示这个底的最高次

底x的最高次幂=map1[x]
底x有多少个最高次幂=tot[x]

把他们的乘积加入set后，set的大小就是答案

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<numeric>
#include<unistd.h>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<utility>
#include<cctype>
#include<cassert>
#include<thread>
#include<bitset>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=2e5+5,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod=1e11+7;

int n;
vector<int>p[N],e[N];
map<int,int>map1,tot;

int main() {
	#ifdef stdjudge
		freopen("in.txt","r",stdin);
		auto TimeFlagFirst=clock();
	#endif

	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);

	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int t; cin>>t;
		while(t--) {
			int pp,ee; cin>>pp>>ee;
			if(!map1.count(pp)) map1[pp]=ee,tot[pp]=1;
			else if(ee>map1[pp]) map1[pp]=ee,tot[pp]=1;
			else if(ee==map1[pp]) tot[pp]++;
			p[i].emplace_back(pp);
			e[i].emplace_back(ee);
		}
	}

	set<ll>set1;

	for(int i=1;i<=n;i++) {
		ll val=1;
		for(int j=0;j<p[i].size();j++) {
			if(e[i][j]==map1[p[i][j]]&&tot[p[i][j]]==1) val=val*p[i][j]%mod;
		}
		set1.insert(val);
	}

	cout<<set1.size()<<endl;

	#ifdef stdjudge
		freopen("CON","r",stdin);
		std::cout<<std::endl<<"耗时:"<<std::clock()-TimeFlagFirst<<"ms"<<std::endl;
		std::cout<<std::flush;
		system("pause");
	#endif
    return 0;
}