Codeforces 1787C 思维，dp

最新推荐文章于 2025-11-25 02:58:06 发布

原创最新推荐文章于 2025-11-25 02:58:06 发布 · 381 阅读

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#c++ #算法 #开发语言

该问题是一个涉及数组元素分解的优化问题，要求在一定的约束条件下找到每个元素的两个非负整数分解，使得特定函数F的值最小。解决方案利用动态规划，通过考虑每个元素分解对F的影响，确定最优的分解策略。动态规划状态dp[i][j]表示前i个元素中，第i个元素按j种方式分解时F的最小值。通过遍历所有可能的分解情况，最后得到F的最小值。

题意：

给出一个有 $n$ 个元素的数组 $a$ 和一个常数 $s$ ，将每个元素 $a_{i}$ 分解为两个数 $x_{i},y_{i}$ ，满足
$x_{i}+y_{i}=a_{i}\\ x_{i}\geq 0 \\ y_{i}\geq 0 \\ (x_{i}-s)\cdot(y_{i}-s)\geq 0$
记 $F$ 为
$F=a_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{4}+....+y_{n-2}x_{n-1}+y_{n-1}a_{n}$
求出 $F$ 的最小值

Solution:

如果按顺序地考虑 $a_{i}$ 的分解情况，对 $i∈[3,n−1]i\in[3,n-1]$ 的分解情况只会影响到 $y_{i-1}x_{i}+y_{i}x_{i+1}$ 这两项，同时有
$y_{i}=a_{i}-x_{i}$
则影响到的项为
$y_{i-1}x_{i}+(a_{i}-x_{i})x_{i+1}$
除了下标为 $i$ 的项都是常数，那么这就是一个关于 $x_{i}$ 的一次函数，只会在 $x_{i}$ 的可能取值范围端点处取得最值

按题意， $x_{i}$ 的取值范围为下列两个不等式组的并集
$\begin{cases} x_{i}\leq s \\ y_{i}=a_{i}-x_{i}\leq s \\ x_{i}\geq 0 \\ y_{i}=a_{i}-x_{i} \geq 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x_{i}\geq s \\ y_{i}=a_{i}-x_{i}\geq s \\ x_{i}\geq 0 \\ y_{i}=a_{i}-x_{i} \geq 0 \end{cases}$

这两个不等式组的解集为
$[ma x (0, min (s, a [i] - s)), min (a [i], ma x (s, a [i] - s))]$
接下来只需要 $d p$ 取最大最小值的情况即可，设 $d p [i] [0/1]$ 为将 $a_{i}$ 分解为 $x_{i}$ 最小或最大的情况下前 $i$ 项的最小取值

当 $i = 2$ 时
$dp[2][0]=a[1]\cdot x[2][0]\\ dp[2][1]=a[1]\cdot x[2][1]\\$
当 $3≤i≤n−13\leq i \leq n-1$ 时，枚举当前计算的状态 $j$ ，和从 $i - 1$ 转移来的状态 $k$ ，有
$dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k]+y[i-1][k]\cdot x[i][j]) \\$
$F$ 与 $a_{n}$ 的分配无关，答案就为
$min(dp[n-1][0]+y[n-1][0]\cdot a[n],dp[n-1][1]+y[n-1][1]\cdot a[n])$

//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cassert>
#include<cstring>
#include<cmath>
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#include<vector>
#include<cctype>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=2e5+5,inf=0x3fffffff;
const ll INF=0x3fffffffffffffff,mod=1e9+7;

ll dp[N][2],x[N][2],y[N][2],last[N][2];
int n,s,a[N];

inline void work() {
    cin>>n>>s;

    /**
     * x[i]+y[i]=a[i]
     * (x[i]-s)*(y[i]-s)>=0
     * F=a[1]*x[2]+(y[2]*x[3]+y[3]*x[4]+...+y[n-2]*x[n-1])+y[n-1]*a[n];
     */

    for(int i=1;i<=n;i++) {
        cin>>a[i];
        x[i][0]=max(0,min(s,a[i]-s));
        x[i][1]=min(a[i],max(s,a[i]-s));
        for(int j=0;j<=1;j++) {
            y[i][j]=a[i]-x[i][j];
            dp[i][j]=INF;
        }
    }

    dp[2][0]=a[1]*x[2][0];
    dp[2][1]=a[1]*x[2][1];

    for(int i=3;i<n;i++) {
        for(int j=0;j<=1;j++) {
            for(int k=0;k<=1;k++) {
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k]+y[i-1][k]*x[i][j]);
            }
        }
    }

    cout<<min(dp[n-1][0]+y[n-1][0]*a[n],dp[n-1][1]+y[n-1][1]*a[n])<<endl;
}

int main() {
    #ifdef stdjudge
        freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    cin.tie(nullptr);
    ios::sync_with_stdio(false);

    int t; cin>>t;
    while(t--) work();

    #ifdef stdjudge
        freopen("CON","r",stdin);
        std::cout<<std::flush;
        system("pause");
    #endif
    return 0;
}