Codeforces 1787C 思维，dp

题意：

给出一个有$n$个元素的数组$a$和一个常数$s$，将每个元素$a_i$分解为两个数$x_i,y_i$，满足
$$\begin{gathered} x_i+y_i=a_i \\ {x}_i\ge 0 \\ {y}_i\ge 0 \\ (x_i-s)\cdot (y_i-s)\ge 0 \end{gathered}$$
记$F$为
$$F=a_1{x}_2+y_2{x}_3+y_3{x}_4+....+y_{n-2}{x}_{n-1}+y_{n-1}{a}_n$$
求出$F$的最小值

Solution:

如果按顺序地考虑$a_i$的分解情况，对$i\in [3,n-1]$的分解情况只会影响到$y_{i-1}{x}_i+y_i{x}_{i+1}$这两项，同时有
$$y_i=a_i-x_i$$
则影响到的项为
$$y_{i-1}{x}_i+(a_i-x_i)x_{i+1}$$
除了下标为$i$的项都是常数，那么这就是一个关于$x_i$的一次函数，只会在$x_i$的可能取值范围端点处取得最值

按题意，$x_i$的取值范围为下列两个不等式组的并集
$$\{\begin{array}{l}{x}_i\le s\\ y_i=a_i-x_i\le s\\ x_i\ge 0\\ y_i=a_i-x_i\ge 0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}{x}_i\ge s\\ y_i=a_i-x_i\ge s\\ x_i\ge 0\\ y_i=a_i-x_i\ge 0\end{array}$$

这两个不等式组的解集为
$$[max(0,min(s,a[i]-s)),min(a[i],max(s,a[i]-s))]$$
接下来只需要$dp$取最大最小值的情况即可，设$dp[i][0/1]$为将$a_i$分解为$x_i$最小或最大的情况下前$i$项的最小取值

当$i=2$时
$$\begin{gathered} dp[2][0]=a[1]\cdot x[2][0] \\ dp[2][1]=a[1]\cdot x[2][1] \end{gathered}$$
当$3\le i\le n-1$时，枚举当前计算的状态$j$，和从$i-1$转移来的状态$k$，有
$$dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k]+y[i-1][k]\cdot x[i][j])$$
$F$与$a_n$的分配无关，答案就为
$$min(dp[n-1][0]+y[n-1][0]\cdot a[n],dp[n-1][1]+y[n-1][1]\cdot a[n])$$

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#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=2e5+5,inf=0x3fffffff;
const ll INF=0x3fffffffffffffff,mod=1e9+7;

ll dp[N][2],x[N][2],y[N][2],last[N][2];
int n,s,a[N];

inline void work() {
    cin>>n>>s;

    /**
     * x[i]+y[i]=a[i]
     * (x[i]-s)*(y[i]-s)>=0
     * F=a[1]*x[2]+(y[2]*x[3]+y[3]*x[4]+...+y[n-2]*x[n-1])+y[n-1]*a[n];
     */

    for(int i=1;i<=n;i++) {
        cin>>a[i];
        x[i][0]=max(0,min(s,a[i]-s));
        x[i][1]=min(a[i],max(s,a[i]-s));
        for(int j=0;j<=1;j++) {
            y[i][j]=a[i]-x[i][j];
            dp[i][j]=INF;
        }
    }

    dp[2][0]=a[1]*x[2][0];
    dp[2][1]=a[1]*x[2][1];

    for(int i=3;i<n;i++) {
        for(int j=0;j<=1;j++) {
            for(int k=0;k<=1;k++) {
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k]+y[i-1][k]*x[i][j]);
            }
        }
    }

    cout<<min(dp[n-1][0]+y[n-1][0]*a[n],dp[n-1][1]+y[n-1][1]*a[n])<<endl;
}

int main() {
    #ifdef stdjudge
        freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    cin.tie(nullptr);
    ios::sync_with_stdio(false);

    int t; cin>>t;
    while(t--) work();

    #ifdef stdjudge
        freopen("CON","r",stdin);
        std::cout<<std::flush;
        system("pause");
    #endif
    return 0;
}