洛谷P4549 裴蜀定理模板

原创已于 2022-11-13 01:02:33 修改 · 387 阅读

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#算法

于 2022-11-12 23:16:38 首次发布

本文介绍了裴蜀定理，即不定方程ax+by=c有解的充要条件是gcd(a,b)|c，并通过此定理解决了一类找最小正解的问题。在给定多个参数的情况下，该定理同样适用，要求gcd所有参数|c。示例中展示了如何运用裴蜀定理找到使序列和S大于0且最小的整数序列x_i。

裴蜀定理：

若给出参数 $a, b, c$ ，不定方程 $a x + b y = c$ 有解的充要条件是
$g c d (a, b) ∣ c$

证明：

$g c d (a, b)$ 显然是 $a x$ 的一个因子，也是 $b y$ 的一个因子，所以 $a x + b y$ 的含义为 $g c d (a, b)$ 的两个倍数相加，结果一定还是 $g c d (a, b)$ 的倍数，所以只需要 $g c d (a, b) ∣ c$ ，方程就有解

同样的原理，可以扩展至任意个数的参数：

给出 $n$ 个参数 $a_{i}$ 与 $c$ ，使方程
$\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=c$
有解的充要条件是
$gcd(a_{1},a_{2},...,a_{n})|c$

例题：洛谷 $P 4549$

题意：

给出 $n$ 个参数 $a_{i}$ ，求另一个整数序列 $x_{i}$ ，使得
$S=\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$
满足 $S > 0$ ，且 $S$ 最小

Solution：

显然右式是一个不定方程，那么 $S$ 要存在取值就只可能是 $gcd(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ ，这个就是答案了。不过 $a_{i}$ 可能是负的，只需要取负 $a_{i}$ 在计算就可以保证是正的了

// #include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<map>
using namespace std;

using ll=long long;
using ull=unsigned long long;
const int N=2e5+5,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod=1e9+9;

int main()
{
    #ifdef stdjudge
        freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    int ans,n; cin>>n>>ans;
    if(ans<0) ans=-ans;
    while(--n)
    {
        int x; cin>>x;
        if(x<0) x=-x;
        ans=__gcd(ans,x);
    }     
    cout<<ans;
    return 0;
}