洛谷 P3390 矩阵快速幂模板

题目背景
矩阵快速幂
题目描述
给定n*n的矩阵A,求A^k
输入输出格式
输入格式:
第一行,n,k
第2至n+1行,每行n个数,第i+1行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素
输出格式:
输出A^k
共n行,每行n个数,第i行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素,每个元素模10^9+7
输入输出样例
输入样例#1:
2 1
1 1
1 1
输出样例#1:
1 1
1 1
说明

n<=100, k<=10^12, |矩阵元素|<=1000 算法:矩阵快速幂

吐槽:wa了两次太丢人了,第一次发现没有取模,第二次发现没有开long long,简直了,QAQ。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n;
long long m;
struct node
{
	int cal,line;
	long long a[100][100];
};
node pow(node x,node y)
{
	node re;
	memset(re.a,0,sizeof(re.a));
	re.cal=x.cal;re.line=y.line;
	for(int i=1;i<=x.cal;i++)
	    for(int k=1;k<=y.line;k++)
	        for(int j=1;j<=x.line;j++)
	          re.a[i][k]=(re.a[i][k]+(x.a[i][j]*y.a[j][k])%mod)%mod;
	return re;
}
int main()
{	

        node tmp,ans;
	scanf("%d%lld",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	   for(int j=1;j<=n;j++)
	       scanf("%lld",&tmp.a[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    ans.a[i][i]=1;
	ans.cal=n;ans.line=n;tmp.cal=n;tmp.line=n;
	while(m)
	{
		if(m&1) ans=pow(ans,tmp);
		tmp=pow(tmp,tmp);
		m>>=1;
	}
	for(int i=1;i<=ans.cal;i++)
	{
		for(int j=1;j<ans.line;j++)
	       printf("%lld ",ans.a[i][j]);
	    printf("%lld\n",ans.a[i][ans.line]);
	}
	return 0;
}


### 矩阵快速幂的概念 矩阵快速幂是一种高效的算法,用于计算一个给定矩阵的高次幂。该方法结合了矩阵乘法和快速幂的思想,在处理大指数运算时具有显著的时间复杂度优势[^1]。 ### C语言中的矩阵定义与初始化 为了实现矩阵快速幂,首先需要定义并初始化矩阵结构体: ```c #define N 105 // 假设最大维度不超过N*N typedef struct { long long mat[N][N]; } Matrix; ``` 此段代码声明了一个名为`Matrix`的结构体用来存储矩阵数据,并设定其大小上限为`N×N`。 ### 矩阵乘法规则 两个相同尺寸的方阵相乘遵循特定规则:新矩阵中每个元素等于原两矩阵对应行列交叉位置上的元素积之和。具体到编程层面可表示如下: ```c void multiply(Matrix* A, Matrix* B, Matrix* res) { static long long tmp[N][N]; memset(tmp, 0, sizeof(tmp)); for (int i = 0; i < N; ++i) for (int j = 0; j < N; ++j) for (int k = 0; k < N; ++k) tmp[i][j] += ((A->mat[i][k]) * (B->mat[k][j])); memcpy(res->mat, tmp, sizeof(tmp)); } ``` 这段程序实现了标准的三重循环形式的矩阵乘法操作,并将结果保存至目标矩阵对象内[^2]。 ### 快速幂逻辑应用于矩阵 接下来是核心部分——利用快速幂技巧加速矩阵自乘过程。这里给出完整的C语言版本实现方式: ```c // 定义单位矩阵I作为初始值 void initIdentityMatrix(Matrix* I){ memset(I->mat, 0, sizeof(I->mat)); for(int i=0;i<N;++i)(I->mat)[i][i]=1LL; } // 计算M^n的结果存入res中 void powerModulo(Matrix M, int n, Matrix* res){ Matrix result,tmp=M; initIdentityMatrix(&result); while(n>0){ if(n&1)multiply(&tmp,&result,&result); multiply(&tmp,&tmp,&tmp),n>>=1; } *res=result; } ``` 上述代码片段展示了如何通过迭代而非递归来完成整个矩阵快速幂的过程。其中特别注意的是当遇到奇数次幂时需额外做一次普通的矩阵乘法;而每次平方后的基底都要更新以便于下一轮判断是否继续累加当前项[^3]。
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