洛谷 P3390 [模板] 矩阵快速幂 题解

【模板】矩阵快速幂

题目背景

一个 $m\times n$ 的矩阵是一个由 $m$ 行 $n$ 列元素排列成的矩形阵列。即形如

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\text{.}$$

本题中认为矩阵中的元素 $a_{ij}$ 是整数。

两个大小分别为 $m\times n$ 和 $n\times p$ 的矩阵 $A,B$ 相乘的结果为一个大小为 $m\times p$ 的矩阵。将结果矩阵记作 $C$，则

$$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}\text{,(1≤i≤m, 1≤j≤p).}$$

而如果 $A$ 的列数与 $B$ 的行数不相等，则无法进行乘法。

可以验证，矩阵乘法满足结合律，即 $(AB)C=A(BC)$。

一个大小为 $n\times n$ 的矩阵 $A$ 可以与自身进行乘法，得到的仍是大小为 $n\times n$ 的矩阵，记作 $A^2=A\times A$。进一步地，还可以递归地定义任意高次方 $A^k=A\times A^{k-1}$，或称 $A^k=\underset{k\text{ 次}}{\underbrace{A\times A\times \cdots \times A}}$。

特殊地，定义 $A^0$ 为单位矩阵 $I=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$。

题目描述

给定 $n\times n$ 的矩阵 $A$，求 $A^k$。

输入格式

第一行两个整数 $n,k$。
接下来 $n$ 行，每行 $n$ 个整数，第 $i$ 行的第 $j$ 的数表示 $A_{i,j}$。

输出格式

输出 $A^k$

共 $n$ 行，每行 $n$ 个数，第 $i$ 行第 $j$ 个数表示 $(A^k{)}_{i,j}$，每个元素对 $10^9+7$ 取模。

样例 #1

样例输入 #1

2 1
1 1
1 1

样例输出 #1

1 1
1 1

提示

【数据范围】

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 100$，$0\le k\le 10^{12}$，$|A_{i,j}|\le 1000$。

原题

洛谷P3390——传送门

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define max_Heap(x) priority_queue<x, vector<x>, less<x>>
#define min_Heap(x) priority_queue<x, vector<x>, greater<x>>
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<long long, long long> PLL;
const double PI = acos(-1);

const int mod = 1e9 + 7; // 模数
struct Matrix            // 矩阵结构体
{
    ll m[106][106]; // 开longlong
};
Matrix a, e; // a输入矩阵，e单位矩阵
ll n, p;
Matrix Mul(Matrix x, Matrix y) // 矩阵相乘
{
    Matrix res;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            res.m[i][j] = 0;    //非全局定义的变量需初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            for (int k = 1; k <= n; k++)
            {
                res.m[i][j] += x.m[i][k] * y.m[k][j];
                res.m[i][j] %= mod;
            }
    return res;
}
Matrix qpow(Matrix x, ll y) // 矩阵快速幂
{
    Matrix res = e;
    while (y)
    {
        if (y & 1)
        {
            res = Mul(res, x);
        }
        x = Mul(x, x);
        y >>= 1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    // 输入
    cin >> n >> p;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            cin >> a.m[i][j];
        }
    }
    // 单位矩阵初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        e.m[i][i] = 1;
    }
    Matrix ans = qpow(a, p);
    // 输出
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (j != n)
                cout << (ans.m[i][j] + mod) % mod << ' ';
            else
                cout << (ans.m[i][j] + mod) % mod << '\n';
        }
    }
    return 0;
}