洛谷P4219 lct维护子树信息

原创于 2022-09-05 15:37:34 发布 · 237 阅读

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#c++ #图论 #算法

本文介绍了一个名为LCT的数据结构，用于高效处理树的连接、查询边的负荷和子树信息维护。核心操作包括link、split和access，展示了如何通过旋转、splay等技巧优化树的结构，以支持复杂查询。

题意：

给出 $n$ 个独立的点，处理以下 $q$ 个操作，每个操作只会是如下操作之一

（1）连接 $x, y$ ，保证原本没有边存在

（2）查询边 $(x, y)$ 的负荷，定义负荷为树上经过 $(x, y)$ 的简单路径的个数

$L CT$ 维护（原树中）子树信息

设 $s i ze$ 是当前结点为根的情况下的子树信息和， $vsize(virtual\_size)$ 是当前结点为根的情况下的所有虚儿子的子树和。

如果给定根，即已知 $x$ 的父节点 $f a$ ，那么只需要 $s pl i t (x, f a)$ ， $x$ 的 $v s i ze$ 就已经是原树的子树信息和了。

更一般的， $s i ze$ 维护的是原树这个图的连接的所有连通分量的信息和，如果给定根要找出子树信息和，只需要剥离他的父亲即可。

另外，在维护子树信息时， $l ink (x, y)$ 时，最好先 $s pl a y (y)$ 。因为 $y$ 也有父亲，给 $y$ 连接了虚儿子后，也需要 $push\_up\ y$ 的父亲，先 $s pl a y (y)$ 后， $y$ 就没有父亲了，也就不需要更新。

也可以在连接虚儿子后 $s pl a y (y)$ ，此时的含义就是手动更新 $y$ 的祖先们。

维护子树信息只需要在更改了虚实关系的函数更新 $v s i ze$ 即可，仅需在 $l ink, a ccess$ 中更新

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

struct LCT
{
	struct node
	{
		int v,tag,son[2],fa,size,vsize;
	};
	stack<int>s;
	vector<node>tree;
	LCT():tree(100005){}
	bool isroot(int x)
	{
		return tree[tree[x].fa].son[0]!=x&&tree[tree[x].fa].son[1]!=x;
	}
	int getson(int x,int y)
	{
		return x==tree[y].son[1];
	}
	void push_up(int x)
	{
		tree[x].size=1+tree[x].vsize+tree[tree[x].son[0]].size+tree[tree[x].son[1]].size;
	}
	void rotate(int x)
	{
		int y=tree[x].fa,z=tree[y].fa;
		int k1=getson(x,y),k2=getson(y,z);
		tree[x].fa=z;
		if(!isroot(y)) tree[z].son[k2]=x;
		tree[y].son[k1]=tree[x].son[!k1];
		if(tree[x].son[!k1]) tree[tree[x].son[!k1]].fa=y;
		tree[x].son[!k1]=y;
		tree[y].fa=x;
		push_up(y); push_up(x);
	}
	void reverse(int x)
	{
		swap(tree[x].son[0],tree[x].son[1]);
		tree[x].tag^=1;
	}
	void push_down(int x)
	{
		if(!tree[x].tag) return;
		for(int i=0;i<=1;i++)
			if(tree[x].son[i]) reverse(tree[x].son[i]);
		tree[x].tag=0;
	}
	void splay(int x)
	{
		int now=x;
        push_up(now);
		s.push(now);
		while(!isroot(now))
		{
			s.push(tree[now].fa);
            // push_up(tree[now].fa);
			now=tree[now].fa;
		}
		while(!s.empty())
		{
			push_down(s.top());
			s.pop();
		}
		while(!isroot(x))
		{
			int y=tree[x].fa,z=tree[y].fa;
			int k1=getson(x,y),k2=getson(y,z);
			if(!isroot(y))
			{
				if(k1==k2) rotate(y);
				else rotate(x);
			}
			rotate(x);
		}
	}
	void access(int x)//打通root->x的splay
	{
		int last=0;
		while(x)
		{
			splay(x);
            tree[x].vsize+=tree[tree[x].son[1]].size-tree[last].size;
			tree[x].son[1]=last;
			push_up(last=x);
			x=tree[x].fa;
		}
	}
	void makeroot(int x)
	{
		access(x);
		splay(x);
		reverse(x);
	}
	int findroot(int x)
	{
		access(x);
		splay(x);
		while(tree[x].son[0])
		{
			push_down(x);
			x=tree[x].son[0];
		}
		splay(x);
		return x;
	}
	void split(int x,int y)
	{
		makeroot(x);
		access(y);
		splay(y);
	}
	void link(int x,int y)
	{
		makeroot(x);
		if(x==findroot(y)) return;
        splay(y);
		tree[x].fa=y;
        tree[y].vsize+=tree[x].size;
        push_up(y);
	}
	// void cut(int x,int y)
	// {
	// 	makeroot(x);
	// 	if(findroot(y)!=x||tree[y].fa!=x||tree[y].son[0]) return;
	// 	tree[y].fa=tree[x].son[1]=0;
	// }
}lct;

int n,q;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&q);
    while(q--)
    {
        char s[5]; int x,y;
        scanf("%s%d%d",s+1,&x,&y);
        if(s[1]=='A') lct.link(x,y);
        else
        {
            lct.split(x,y);
            printf("%lld\n",1ll*(lct.tree[x].vsize+1)*(lct.tree[y].vsize+1));
        }
    }
    return 0;
}