slam入门——十四讲笔记（三）

第4讲 李群与李代数

本节目标

1. 理解李群与李代数的概念，掌握$SO(3)$, $SE(3)$与对应李代数的表示方式。
2. 理解BCH近似的意义
3. 学会在李代数上的扰动模型
4. 使用Sophus对李代数进行运算

上一讲重点介绍了旋转的表示，但是在SLAM中，除了表示之外，我们还要对它们进行估计和优化。因为在SLAM中位姿是未知的，而我们需要解决什么样的相机位姿最符合当前观测数据这样的问题。一种典型的方式是把它构建成一个优化问题，求解最优的$R,\mathbf{t}$，使得误差最小化。

如前所言，旋转矩阵自身是带有约束的（正交且行列式为$1$）。它们作为优化变量时，会引入额外的约束，使优化变得困难。通过李群-李代数间的转换关系，我们希望把位姿估计变成无约束的优化问题，简化求解方式。由于我没有李群李代数的基本知识，从最基础的开始看起。

4.1 李群与李代数基础

上一讲，我们介绍了旋转矩阵和变换矩阵的定义。当时，我们说三维旋转矩阵构成了特殊正交群$SO(3)$，而变换矩阵构成了特殊欧氏群$SE(3)$：
S O ( n ) = { R ∈ R n × n ∣ R R T = I , d e t ( R ) = 1 } (4.1) SO(n)=\{R\in\mathbb{R}^{n\times n}|RR^T=I,det(R)=1\} \quad \text{(4.1)} SO(n)={ R∈Rn×n∣RRT=I,det(R)=1}(4.1)
S E ( 3 ) = { T = [ R t 0 T 1 ] ∈ R 4 × 4 ∣ R ∈ S O ( 3 ) , t ∈ R 3 } . (4.2) SE(3) = \{T=\begin{bmatrix}R&t\\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times 4} | R \in SO(3), \mathbf{t} \in \mathbb{R}^3 \}. \quad \text{(4.2)} SE(3)={ T=[R0T​t1​]∈R4×4∣R∈SO(3),t∈R3}.(4.2)

不过，当时我们并没有详细解释群的含义。我们会发现他们只有一种较好的运算：乘法。$SO(3)$和$SE(3)$关于乘法是封闭的。对于这种只有一个运算的集合。我们把它叫做群。

4.1.1 群

群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构。我们把集合记作$A$，运算记作$\cdot$，那么群可以记作$G=(A,\cdot )$。群要求这个运算满足一下几个条件：

1. 封闭性：$\forall a_1,a_2\in A,a_1\cdot a_2\in A$
2. 结合律：$\forall a_1,a_2,a_3\in A,(a_1\cdot a_2)\cdot a_3=a_1\cdot (a_2\cdot a_3).$
3. 幺元：$\exists a_0\in A,s.t.\forall a\in A,a_0\cdot a=a\cdot a_0=a$
4. 逆：$\forall a\in A,\exists a^{-1}\in A,s.t.a\cdot a^{-1}=a_0$

李群是指具有连续（光滑）性质的群。像整数群$\mathbb{Z}$那样离散的群没有连续性质，所以不是李群。而$SO(n)$和$SE(n)$，它们在实数空间上是连续的。我们能够直观地想象一个刚体能够连续地在空间中运动，所以它们都是李群。由于$SO(3)$和$SE(3)$对于相机姿态估计尤为重要，我们主要讨论这两个李群。

下面，我们先从较简单的$SO(3)$开始讨论，我们将会发现每个李群都有对应的李代数。我们首先引出$SO(3)$上面的李代数$\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$。

4.1.2 李代数的引出

考虑任意旋转矩阵$R$，我们知道它满足：
$$R{R}^{}$$