16、微分方程求解方法：带状矩阵、龙格 - 库塔法及高阶系统处理

微分方程求解方法：带状矩阵、龙格 - 库塔法及高阶系统处理

1. 带状矩阵方法

在许多实际问题中，矩阵不仅是稀疏的，还具有非常明确的结构。以三对角矩阵为例，其非零元素仅位于主对角线的上、下相邻对角线上。下面我们来详细介绍如何利用三对角矩阵的特性求解方程组。

1.1 三对角矩阵方程组求解原理

考虑如下三对角矩阵对应的方程组：
[
\begin{cases}
a_1y_2 + b_1y_1 = r_1 \
a_2y_3 + b_2y_2 + c_2y_1 = r_2 \
\cdots \
a_{n - 1}y_n + b_{n - 1}y_{n - 1} + c_{n - 1}y_{n - 2} = r_{n - 1} \
b_ny_n + c_ny_{n - 1} = r_n
\end{cases}
]
我们可以从第一个方程解出 (y_1) 关于 (y_2) 的表达式：
[y_1 = \frac{r_1}{b_1} - \frac{a_1}{b_1}y_2]
将其代入第二个方程，消去 (y_1)，得到一个新的方程，这个过程相当于对 (b_2) 和 (r_2) 进行了重新定义。然后，再用这个新方程解出 (y_2) 关于 (y_3) 的表达式，并代入下一个方程，如此反复，直到最后一个方程，此时方程中仅剩下 (y_n)，可轻松求解。之后，通过回代法就能求出所有 (y) 的值。

1.2 代码实现

以下是使用 MATLAB 实现上述求解过程的代码：