18、常微分方程与特征值特征向量的数值解法

常微分方程与特征值特征向量的数值解法

常微分方程的数值解法

常微分方程的数值解法主要分为初值问题和边值问题两类。

一阶方程与高阶方程的处理

一阶方程通常形式为 $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$。以四阶龙格 - 库塔法求解方程组为例，对于 $f(x,y) = \sin x + y$ 和 $f(x,w) = -w + \cos x$ 的情况，有如下计算步骤：
1. 计算 $k_1 = hf(x_n,w_n)$；
2. 计算 $k_2 = hf(x_n + \frac{1}{2}h,w_n + \frac{1}{2}k_1)$；
3. 计算 $k_3 = hf(x_n + \frac{1}{2}h,w_n + \frac{1}{2}k_2)$；
4. 计算 $k_4 = hf(x_n + h,w_n + k_3)$。

通过该系统最终可得到如下结果：
| x | w | y |
| — | — | — |
| 0 | 0 | 0 |
| 0.1 | 0.00998 | 0.09950 |
| 0.2 | 0.03973 | 0.19601 |
| 0.3 | 0.08866 | 0.28660 |
| 0.4 | 0.15577 | 0.36842 |
| 0.5 | 0.23971 | 0.43879 |

对于高阶方程，多数可转化为一阶方程组。例如二阶方程 $r\frac{d^2t}{dr^2} + \frac{dt}{dr} = 0$，引入新变量 $z = \frac{dt}{dr}$，可转化为一阶方程组：