22、线性与非线性方程的特殊解法及隐式方法

线性与非线性方程的特殊解法及隐式方法

1. 稀疏系统中 fsolve 的使用

对于非线性带状方程组，可选择使用 fsolve 求解。虽然 fsolve 求解器可像之前那样使用，但这里会采用全阶求解器。同时，还能利用 ‘jacobPattern’ 选项并指定雅可比矩阵的模式，来利用 fsolve 中雅可比矩阵的稀疏/带状结构，语法如下：

>> opt=optimoptions('jacobPattern',J);

这些选项会如前文所述，被适当地传递给 fsolve。接下来的案例研究将广泛使用 fsolve。

2. 示例

2.1 有对流或辐射损失的热传导问题

之前讨论过有对流或辐射热损失的杆的热传导问题。例 7.1 中求解的杆的热传导问题，可建模为如下常微分方程边值问题（ODE - BVP）：
[k\frac{d^2T}{dz^2}=h_{\infty}a_v(T - T_{\infty})]
边界条件为：
[T(0)=T_0, T(L)=T_{\infty}]
其中，(T) 是任意位置的温度（单位：°C），(T_{\infty}) 是环境温度，(k) 是杆的热导率，(h_{\infty}) 是热损失系数，(a_v) 是杆单位体积的外部面积。

在 7.2.3 节中，通过用诺伊曼（Neumann）或混合边界条件替代狄利克雷（Dirichlet）边界条件对该问题进行了修改。若杆的远端绝缘，则使用诺伊曼边界条件：
[\left.\frac{dT}{dz}\righ