14、格约化算法的概率分析解读

格约化算法的概率分析解读

结果解释

首先对主要结果进行解读，这些结果与定理 8 密切相关。
1. 事件概率与函数关系 ：对于任意 (y_0 \geq 1)，事件 ([\tilde{y} \geq y_0]) 的概率为 (P^{(r)}[\tilde{y} \geq y_0] = P^{(r)}[\alpha(z) \leq \frac{1}{y_0}] = A_1(r)\frac{\zeta(2r + 3)}{\zeta(2r + 4)}\frac{1}{y_0^{r + 2}})。这定义了一个关于变量 (y_0) 的函数 (\varphi_r(y_0))，其导数是关于 (y_0) 的幂函数，形式为 (\psi(y_0^{-r - 3}))。该导数通过等式 (\varphi_r^\prime(y_0) := \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \tilde{f}_r(x, y_0) dx) 与定理 6 中的输出密度 (\tilde{f}_r) 紧密相关。当 (r \to -\infty) 时，函数 (\varphi_r^\prime(y)) 有一个极限，这个极限恰好是在 (3.43) 中定义的密度 (\rho)，它与在 “随机格与艾森斯坦级数的关系” 部分定义的哈尔测度 (\mu_2) 相关。
2. 参数 (\lambda) 分布函数的变化 ：参数 (\lambda) 的分布函数的状态会随着估值 (r) 的符号变化而改变。在区域 (\Omega(t)) 中有两部分：下部是水平带 ([0 \leq \Im(z) \leq \frac{2}{\sqrt{3}}t^2])，上部是 (\Omega(t