51、非线性控制综述

非线性控制综述

1. 动态系统

串行机器人的动力学公式由一组非线性二阶微分方程表示。机器人的惯性矩阵是正定且可逆的。通过将机器人的状态变量向量定义为运动变量及其导数的组合，即 $x = [q \ \dot{q}]^T$，机器人的动态方程可以重写为状态空间形式：
$\dot{x} = f(x, u)$ (B.1)
其中，$x$ 是系统的状态向量，$u$ 是输入向量，$f$ 是一个连续的多元函数 $f: R^n \to R^n$，称为向量场。

方程 (B.1) 表示开环机器人在状态空间中的动态方程。如果根据控制方法计算关节扭矩并应用于系统，输入向量 $u$ 就成为机器人状态向量 $x$ 的函数，即 $u = g(x)$。这样，闭环系统可以简化为：
$\dot{x} = f(x, g(x)) = f(x)$ (B.2)
一般情况下，闭环系统的动态方程是多变量且非线性的，需要利用非线性系统理论来分析其稳定性。

2. 稳定性定义

• 平衡点 ：对于状态空间 $R^n$ 中的非线性系统 (B.2)，平衡点是指状态变量的变化为零的点，即 $\dot{x} = f(x) = 0$。如果在原点处 $\dot{x}$ 为零，那么原点就是系统的一个平衡点。如果系统的平衡点不在原点，可以通过坐标变换将其转移到原点。若状态变量的初始条件在原点，即 $x(0) = 0$，则系统的轨迹将始终保持在原点，这称为平凡轨迹。
• 李雅普诺夫稳定性 ：
  • 稳定 ：对于任意 $\epsilon &