24、随机结构极值特性与回溯算法分析

随机结构极值特性与回溯算法分析

在研究随机结构和解决组合问题时，极值特性分析和回溯算法是两个重要的方面。下面我们将深入探讨随机结构的极值特性，以及回溯算法在图着色问题中的应用和分析。

随机结构的极值特性

随机结构的极值特性为其提供了重要的统计特征，带来了许多有价值的见解。

领导者节点指标

• 领导者节点的指标 $J_{lead}(N)$ 与最大度 $k_{max}$ 相关。其计算公式为 $J_{lead}(N) = N(2/3)k_{max}$。通过极值准则 $\sum_{k\geq k_{max}} N_k(N) \approx 1$ 以及 $N_k(N) = N/2^k$ 可估算出 $k_{max} \sim \ln N / \ln 2$，进而得到 $J_{lead}(N) \sim N^{\psi}$，其中 $\psi = 2 - \frac{\ln 3}{\ln 2} \approx 0.415037$，这与数值结果高度吻合。
• 对于线性附着率 $A_k = k$，数值模拟显示存在“富者更富”现象。当 $N \to \infty$ 时，领导者的平均指标 $J_{lead}(N)$ 会饱和到一个有限值，约为 3.4。而且，约 90% 的概率下，领导者是前 10 个最早的节点之一；约 99% 的概率下，领导者是前 30 个最早的节点之一。对于更一般的移位线性附着率 $A_k = k + \lambda$，也有类似的行为。
• 通过联合指标 - 度分布可以从解析角度理解这些结果。对于线性附着率，有 $C_k(J, N) = \frac{3J}{N} (1 - \frac{3J}{N})^{k - 1}$