基于部分叠加的LDPC码及其HARQ应用

基于部分叠加的空间耦合LDPC码及其在混合自动重传请求中的应用

摘要

本文提出了一类新的空间耦合码，该码通过以块马尔可夫叠加传输（BMST）方式发送低密度奇偶校验分组码（LDPC‐BC）的码字构造而成，由此得到BMST‐LDPC码。与传统的空间耦合LDPC（SC‐LDPC）码不同，所提出的BMST‐LDPC码可以利用相应LDPC‐BC的结构来实现编码器/译码器。所提出的构造方法具有通用性，可应用于任何现有的LDPC‐BC，包括5G新空口（5G‐NR）LDPC‐BCs，以获得额外的编码增益。所提出的BMST‐LDPC码也是BMST码的一种特殊类型，即使编码存储器为1，也能实现更低的误码平台，并继承较低的解码延迟。此外，引入了部分叠加技术，即一部分编码比特叠加到后续码字上，以缓解解码过程中的错误传播。对于随机长码，可通过基于基图的外部信息转移（EXIT）图分析对构造进行优化；对于结构化分组码，则可通过一维搜索进行优化。进一步地，将BMST‐LDPC方案与块衰落信道下的混合自动重传请求（HARQ）相结合，提升了吞吐量性能。数值结果验证了我们的分析，并展示了BMST‐LDPC码相较于LDPC‐BC的性能优势。结果还表明，所提出的HARQ方案相较于传统HARQ方案可实现高达10%的吞吐量提升。

索引术语

5G新无线电，块马尔可夫叠加传输（BMST），混合自动重传请求，LDPC，部分叠加，空间耦合低密度奇偶校验。

一、引言

LOW-DENSITY 奇偶校验分组码（LDPC‐BCs），最初由加拉格尔[1]提出，并由麦克凯、尼尔和斯皮尔曼[2],[3],重新发现，已被证明在加性白高斯噪声（AWGN）信道上具有接近容量的性能[4]。由于其良好的性能和高解码吞吐量，速率兼容类雷普托LDPC‐BCs已被采用为5G增强移动宽带（eMBB）场景中数据信道的编码方案[5]。显然，对于LDPC‐BC编码系统而言，不同时隙中码字的传输是相互独立的，且解码延迟取决于码字长度。

在诸如下载大文件等一些应用中，延迟约束可以放宽。人们希望在保持类似的编解码器结构的同时，通过容忍增加的解码延迟来改善现有LDPC‐BCs的性能。这可以通过采用一种称为块马尔可夫叠加传输（BMST）的编码传输策略来实现[6],[7]。

BMST方案通过空间耦合基本码的生成矩阵引入内存以提升性能，其中性能可通过一个简单的下界[6]进行预测。BMST方案的构造具有灵活性，因为该构造可针对任何给定（有理）码率和任何目标误码率[7]进行定制。然而，原始BMST码在块衰落信道上的性能不佳，原因在于错误传播。为了克服这一弱点，提出了系统重复BMST（BMST‐R）[8]码，其中仅将校验位以BMST方式叠加到相邻转移上，这一思想源于[9]中嵌套格码的部分叠加。类似地，部分叠加也已被应用于乘性重复叠加传输码[10],[11]以缓解错误传播。上述BMST策略可在提升性能的同时，仍使得数据处理器的硬件结构能够基于底层基本码的核心进行设计。

结合BMST方案和部分叠加，我们提出了一类新的BMST码，称为BMST‐LDPC码，作为[12]的扩展。BMST‐LDPC码与空间耦合低密度奇偶校验（SC‐LDPC）码类似。

SC‐LDPC码，也称为LDPC卷积码，最初在[13]中提出，在二进制无记忆对称（BMS）信道上采用迭代置信传播（BP）解码时，具有渐近地达到信道容量的性能[14]。这归因于所谓的阈值饱和现象，即SC‐LDPC码的BP解码性能可以逼近底层LDPC‐BCs的最大后验a posteriori（MAP）解码性能[15],[16]。SC‐LDPC码可通过滑动窗口（SW）解码器[15],[17],进行解码，从而实现较低的解码延迟。因此，近年来SC‐LDPC码的构造受到了广泛关注，包括解缠绕过程[13]和基图方法[18],[19]。大多数构造方法均可精细设计，以避免Tanner图中的短环或陷阱集[20]–[23],，从而特别在误码平台区域提升性能。例如，在[24]中提出了一种系统性基于基图的构造，使得Tanner图的围长至少为八；在[25]中提出了复制与掩码构造，以改善有限长度区域的性能；在[26]中提出了一种多边基于基图的构造，其围长为八。

本文提出BMST‐LDPC码，该码不仅保留了原始BMST码的诸多优点，包括低编码复杂度、高效SW解码、低实现复杂度和可预测的误码平台，而且即使在编码存储器为一的情况下也具有更优的性能，因而继承了更低的解码延迟。本文的主要贡献包括：

1) 我们提出了一类新的BMST码，该码通过以BMST方式发送LDPC‐BC的码字来构造。在瀑布区性能相似的前提下，BMST‐LDPC码的构造具有通用性，因为它适用于任何现有的LDPC‐BCs，例如5G新空口（5G‐NR）LDPC‐BCs，从而获得额外的编码增益。此外，BMST‐LDPC码可以利用底层LDPC‐BCs的硬件结构轻松实现。

2) 为了避免灾难性错误传播，我们提出使用部分叠加，其特征是一个称为叠加比例的参数，其中仅选择一部分编码比特并叠加到后续码字上。

3) 提出了一种基于基图的外部信息传递（EXIT）图分析方法，用于预测BMST‐LDPC码的最佳叠加比例，从而最大化解码性能。

4) 针对实际无线系统，我们提出将LDPC码字的部分叠加传输与混合自动重传请求（HARQ）方案相结合，从而形成一种吞吐量增强型HARQ方案，称为BMST‐LDPC HARQ方案。

5) 我们的数值结果表明，BMST‐LDPC码相比基础LDPC‐BC可获得高达1 dB的额外编码增益。BMST‐LDPC HARQ方案相比传统HARQ方案可实现高达10%的吞吐量提升。

II. BMST‐LDPC码

A. 编码算法

设 C[n, k]表示一个长度为 n、维数为 k的二进制 LDPC‐BC，其校验矩阵和生成矩阵分别用H和G表示。在原始BMST码的基础上，我们采用LDPC‐BC作为基本码，并聚焦于编码记忆为一的情况。编码记忆固定为一是出于以下原因：首先，我们的构造基于已具有良好构造的LDPC‐BC，这些码本身已具备接近容量的性能，进一步增加记忆仅能带来边际性能提升；其次，我们力求将解码复杂度和延迟保持在尽可能低的水平。此外，我们考虑采用部分叠加的BMST以缓解错误传播。

设 α(0 ≤ α ≤ 1)表示一个待优化的叠加比例。我们通过将给定置换矩阵的 n列中的n(1 − α)列置零来定义一个选择矩阵S。对于二进制向量 v ∈ F n 2, vS是一个交错版本的 v ，但其中某些比特被置零。给定数据序列 u=(u(0),u(1),…,u(L− 1))，其中 u(t)=( v, u (t)1 ,…, u (t)k − 1) ∈ F k 2 ，该编码算法与一般BMST码[6]具有相同的框架，并在算法1中描述，参见图1以作说明。主要区别在于使用了选择矩阵S而非置换矩阵。

算法1: BMST‐LDPC码的编码。

• 初始化：设置 v(−1)= 0 ∈ Fn 2。
• 递归: For t= 0 , 1, ···, L−1,
  1) 使用编码算法将u(t)编码为 v(t) 基本LDPC‐BC，即 v(t)= u(t)G；
  2) 计算 w(t)= v(t−1)S，其中 S 是一个选择矩阵
  3) 计算 c(t)= v(t)+ w(t)，将其作为 t‐th 次传输块。
• 终止： 设置 c(L)= v(L−1)S，其中仅 nα c(L)的激活位需要被传输。

B. BMST-LDPC码的代数描述

在本小节中，通过代数描述揭示了所提出的码与现有码之间的关系。经过截断后，具有叠加比例 α的 C[n, k] LDPC‐BC的BMST可被视为一个维度为 kL、长度为 n(L+ 1)的线性分组码。BMST‐LDPC码的生成矩阵可以表示为带状分块矩阵，

$$
G_{BMST−LDPC}=
\begin{bmatrix}
G & \
GS & G \
& GS & G \
& & \ddots & \ddots \
& & & G & GS
\end{bmatrix},
$$

其中G是基本LDPC‐BC的生成矩阵，S是选择矩阵。

类似于[6],中的推导，我们可以将BMST‐LDPC码的校验矩阵确定为一个下块三角矩阵，

$$
H_{BMST−LDPC}=
\begin{bmatrix}
H & & & & \
HS_1 & H & & & \
HS_2 & HS_1 & H & & \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \
H S_{L−1} & H S_{L−2} & H S_{L−3} & \cdots & H \
S_L & S_{L−1} & S_{L−2} & \cdots & S_1 & I
\end{bmatrix} ,
$$

其中H是基本LDPC‐BC的校验矩阵，且Si=(Si)T对于 i ≥ 1成立。根据构造可知，选择矩阵S具有 n(1 − α)个零列，因此具有 n(1 − α)个零行。因此，Si至少有 n(1 − α)个零列，且HSi是一个低密度矩阵。

如[27],所示，BMST‐LDPC码可被视为通过叠加耦合的 L个独立LDPC‐BCs组成的链。BMST‐LDPC码与 SC‐LDPC码之间存在明显的相似性。然而，与SC‐LDPC码不同，BMST‐LDPC码具有其自身的特点。

• BMST‐LDPC码通过空间耦合LDPC‐BC的生成矩阵来构造，因此BMST‐LDPC码的生成矩阵是一个带状分块矩阵。相比之下，SC‐LDPC码通过空间耦合 LDPC‐BC的校验矩阵来构造，因此SC‐LDPC码的校验矩阵是一个带状分块矩阵。
• 对于BMST‐LDPC码，可以在终止过程中使用全零序列迫使编码器进入零状态。而对于SC‐LDPC码，终止过程通常需要依赖于已编码信息比特的非零序列[28]。因此，与传统SC‐LDPC码相比，BMST‐LDPC码的终止过程更简单。
• 传统SC‐LDPC码通常基于基图构造，因此具有许多被广泛讨论的特性，例如线性距离增长速率和阈值饱和效应。相比之下，BMST‐LDPC码是基于精心设计的LDPC‐BC构建的，因此其线性距离增长速率和阈值饱和效应不存在问题。然而，我们通过仿真发现（由于篇幅限制，该内容未包含在本文中），BMST‐LDPC码确实存在类似于 SC‐LDPC码的解码波。直观上，对于具有终止结构的 BMST‐LDPC码，第一层和最后一层应具有更好的性能，因为其他层对这两层的干扰较小。

作为BMST码的一个特殊类别，BMST‐LDPC码具有其自身的特点。

• 与完全叠加相对，BMST‐LDPC码采用部分叠加。通过选用任意一种设计良好的LDPC‐BC作为基本码，我们可以通过优化 α轻松获得额外的编码增益。
• BMST‐LDPC码即使在编码存储器为一的情况下也具有更低的误码平台，因此解码延迟更低。
• 在 BMST‐LDPC码中可以使用基于校验的停止准则，而非基于熵的停止准则，前者复杂度更低，将在接下来的解码算法中提及。

C. 解码算法

假设 c(t)通过信道传输，在接收端产生接收向量 y(t)。我们可以计算与 c(t)相关的后验概率或对数似然比 (LLRs)，并将这些值作为SW解码算法的输入。具体而言，假设在衰落信道中接收端已知信道状态信息(CSI)，则与 c(t)相关的对数似然比(LLRs)可按如下方式计算

$$
LLR(c^{(t)}_i)= \ln \frac{Pr{y^{(t)}_i |c^{(t)}_i = 0, h}}{Pr{y^{(t)}_i |c^{(t)}_i = 1, h}}, \quad (1)
$$

对于 0 ≤ i ≤ n−1,，其中 h表示瑞利衰落系数。作为 BMST码的一种特殊类型，BMST‐LDPC码可通过正则图上的迭代SW解码算法进行解码[29]。图1展示了高层 BMST‐LDPC码的正则图。该迭代SW解码算法可描述为在包含 d（窗口大小）层的图1子图上执行的消息传递算法，导致解码延迟为 dn比特。每个解码层由一个类型为 +的节点、一个类型为 S的节点、一个类型为 =的节点以及一个类型为 LDPC的节点组成。这些节点的消息更新规则如下所述。

• 节点 +：该节点表示所有连接变量之和在 F2上必须为零的约束。此节点处的消息更新规则与LDPC‐BC中的校验节点处的消息更新规则类似。唯一的区别是，与半边相关联的消息是从信道观测值计算得出的。
• 节点 S：该节点表示选择矩阵，它仅在节点 =和节点 +之间传递与选定比特相关联的消息。

算法2：BMST‐LDPC码的迭代滑动窗口解码（窗口大小 d ≥ 1）。

• 全局初始化：设置最大全局迭代次数 Jmax> 0。对于 0 ≤ t ≤ d−2，计算来自接收向量的 c(t)相关的对数似然比（LLR） y(t)。所有其他边内的消息以及连接到第 t层（0 ≤ t ≤ d−2）的 初始化为均匀分布变量。
• 滑动窗口译码：对于 t= 0，1， ···， L−1，
  1) 局部初始化：如果 t+ d−1 ≤ L，计算来自接收向量 y(t+d−1) 的对数似然比（LLR）以及所有其他边内的消息 连接到第(t+ d−1)层的是 初始化为均匀分布变量。
  2) 迭代：对于 j= 1，2， ···， Jmax，
  a) 前向递归：对于 i= 0，1， ···， d−1， 第(t+ i)层执行一条消息‐传递算法，其调度方式为 + →= → LDPC →= → S。
  b) 后向递归：对于 i= d−1， d−2， ···，0，第(t+ i)层执行一个按计划调度的消息传递算法 = → LDPC →= →+ → S .
  c) Decisions：对v(t)做出决策，从而产生 ˆv (t)。如果Hˆv (t) = 0,退出迭代。注意 校验停止准则也是 用于上述递归中 ,其中节点 LDPC执行迭代BP解码 预设的最大迭代次数 Imax。
  3) 连续消除: 输出ˆu(t)基于 ˆv(t)并消除ˆv(t)对 y(t+1)的影响。
• 节点 =：该节点表示所有连接变量必须取相同值的约束。此节点处的消息更新规则与LDPC‐BC中变量节点处的消息更新规则相同。
• 节点 LDPC：该节点表示LDPC‐BC的编码约束，其中 v(t)必须是对应于u(t)的码字。该节点处的消息更新可通过某种软输入软输出（SISO）译码器实现，例如采用最大迭代次数为 I max的LDPC‐BC和积算法（SPA）。与 u(t)相关的外部消息可用于对接收数据进行判决。

为完整起见，SW解码算法在算法2中进行了概述，其与[6],中的算法3相同，只是基本码处的消息更新是通过 LDPC‐BC的迭代（通常是次优）SISO译码器实现的。另外请注意，可以使用基于校验的准则来代替基于熵的准则，以更早地终止迭代。

D. 叠加分数优化

从构造可以看出， v(t)在 v(t+1)上的叠加对第 t层有利，但对第(t+ 1)层有害。直观上可以理解为，叠加为第 t层带来了“多样性”，但为第(t+ 1)层引入了“干扰”。因此，通过优化 α有望获得额外的编码增益。

这种优化是一个一维搜索问题，可以通过仿真来解决。对于随机长码，可以通过调用EXIT图分析避免耗时的仿真。基于原型图的EXIT图分析在[30]中被提出，用于获得基于原型图的LDPC码的阈值。2该阈值是信噪比（ SNR）的最小值，使得当迭代次数增加时，变量节点处的误码率趋于零。当选择重复码或单奇偶校验（SPC）码作为基本码时，文献[27]中提出了针对BMST码的改进的 EXIT图分析。当基本码为LDPC‐BC且引入部分叠加时，情况变得不同。基于改进的EXIT图分析，我们提出了 BMST‐LDPC码的EXIT图分析，以预测最优叠加比例。

为了简化分析，选择矩阵被限制为具有以下形式

$$
S=[P \quad O \quad O \quad O], \quad (2)
$$

其中，大小为 nα × nα的子矩阵 P从所有可能的置换矩阵集合中均匀选取，O表示零矩阵。考虑到上述形式的 S，BMST‐LDPC码的退化正常图如图2所示，其中 Q (t)被称为叠加部分， B(t)被称为直接传输部分，由此得到的比例为 α : 1 − α 。

我们假设在二进制输入的加性高斯白噪声信道上采用二进制相移键控（BPSK）调制。对于给定的信噪比 Eb/N0，其中 Eb表示每个信息比特的发射能量， N0表示噪声功率谱密度，信道比特对数似然比（LLR）也呈现方差为[32],的高斯分布

$$
\sigma^2_{ch}= 8R_{BMST-LDPC} \frac{E_b}{N_0}. \quad (3)
$$

信道互信息（MI）随后被定义为

$$
I_{ch}= J(\sigma_{ch})= J\left(\sqrt{8R_{BMST-LDPC} \frac{E_b}{N_0}}\right) , \quad (4)
$$

其中 J(·)函数在[33]的附录中给出。

BMST‐LDPC码的EXIT图分析在正则图上进行，如图2所示。我们使用符号I(a→b)表示从节点a到节点b的互信息。节点+、=和P的互信息传递算法与[27]中的相同。对于节点LDPC，我们采用与底层LDPC‐BCs相对应的EXIT分析算法。节点Split的互信息传递算法由叠加比例 α决定，包括组合和分割两部分。在组合过程中，节点Split 以 I(=→Split)和 I(|→Split)作为输入，并输出 I(Split→LDPC)，其中 I(=→Split)、 I(|→Split)和 I(Split→LDPC) 分别表示叠加部分、直接传输部分和输出的互信息。随后，I(Split→LDPC)由下式给出

$$
I(Split→LDPC)= \alpha I(=→Split)+(1 − \alpha)I(|→Split). \quad (5)
$$

对于分割，节点Split以 I(LDPC→Split)作为输入，并输出 I(Split→=)和 I(Split→|)，其中I(LDPC→Split)、 I(Split→=)和 I(Split→|)分别表示输入、到叠加部分的输出以及到直接传输部分的输出的互信息。输出互信息 I(Split→=)和 I(Split→|)由以下给出：

$$
I(Split→=)= \alpha I(LDPC→Split), \quad (6)
$$
$$
I(Split→|)=(1 − \alpha)I(LDPC→Split). \quad (7)
$$

BMST‐LDPC码的EXIT图分析算法在算法3中描述，参见图2。注意，在节点LDPC处的收敛性检查使用算法2进行，见[27]。

EXIT图分析。(b) 仿真)

图3(a)展示了我们对以(3,6)‐正则LDPC‐BC作为基本码的 BMST‐LDPC码进行的EXIT图分析，其中我们观察到叠加比例 α= 0.4在阈值分析意义上是最优的。这一点在图3(b)的仿真结果中得到了进一步验证，3其中采用了一种由渐进边增长（ PEG）算法[34]构造的码率为‐1/2、长度为1024比特的(3,6)‐正则LDPC‐BC作为基本码。与独立传输4 (α= 0)相比，叠加比例为 α= 0.4的BMST‐LDPC码具有约1.0 dB的增益在误码率（BER）为 10−5时。需要指出的是，针对 BMST‐LDPC码提出的EXIT图分析是基于无限码长和随机选择的选择矩阵S的假设。然而，仿真结果验证了当码长有限且S为随机但固定选择时，通过EXIT图分析得到的优化叠加比例仍然有效。渐近地（在高信噪比区域），BMST‐LDPC码可以接近所谓的理想辅助（GA）界[6],[12]所预测的最大额外编码增益。该GA界可通过假设译码器已知来自相邻层的所有干扰，或等效地通过使用 L= 1对所考虑的BMST‐LDPC码进行仿真而获得。

III. BMST‐LDPC 混合自动重传请求方案

在实际中，许多无线信道是时变的，且发射机通常不知道信道状态信息。在这种情况下，仅依靠纠错码难以实现足够可靠的传输。HARQ方案是一种结合了物理层纠错码和链路层自动重传请求协议的技术，常用于确保无线通信中数据传输的可靠性。吞吐量是评估HARQ方案最重要的性能指标之一。提高吞吐量性能主要有两种方法：一种基于单包设计，包括采用重复冗余（RR）[36]的固定码率码和Chase合并[37]，或采用增量冗余（IR）[39]的码率兼容（RC）码[38]；另一种基于多包设计，例如跨包编码混合自动重传请求方案[40]–[43],

传统 RR‐HARQ。(b) BMST‐LDPC HAQR)

A. BMST-LDPC 混合自动重传请求方案

我们借助图4来解释BMST‐LDPC HARQ方案的基本思想，其中Alice试图向Bob发送一系列编码分组 v( 0 ), v( 1 ),···，其中 v( t ) ∈ F n 2 。我们只需说明如何成功传输 v( 0 )。我们假设 v( 0 )的首次传输未成功，Bob向Alice反馈了否定确认。

对于传统RR‐HARQ方案，如图4(a)所示，Alice重传 v(0)直到收到肯定确认或达到最大传输次数 Tmax。相比之下，对于BMST‐LDPC HARQ方案，如图4(b)所示， v(0)的第一次重传由

$$
c(1)= v(1)+ v(0)S. \quad (8)
$$

在接收端，由于 v(0)和 c(1)均携带与 v(0)相关的信息，因此可以通过执行BMST‐LDPC码的解码算法（带d= 2的算法2）利用它们的噪声版本联合恢复v(0)。如果解码成功， Bob反馈一个肯定确认；否则，他反馈一个否定确认。在接收到第二个否定确认后，Alice将重传 v(0)，直到收到肯定确认或达到 Tmax为止。同时，接收端切换到单包模式，并执行LDPC‐BC的和积译码器，其中译码器的输入是通过Chase合并获得的对应于 v(0)的最新LLR向量。这是与传统RR‐HARQ方案的主要区别。即，在传统 HARQ中，重传 v(0)不会给Bob带来 v(1)的任何信息，而在BMST‐LDPC HARQ中， v(1)的重传是一次额外的传输。因此，预期BMST‐LDPC HARQ方案具有更高的吞吐量。

需要指出的是，c(1)的传输不会被计为 v(0)的一次传输，而是计为v(1)的传输。这是因为一旦 v(0)被恢复或达到 Tmax， v(0)对 c(1)的影响就被消除，接收到的c(1)版本将退化为 v(1)的一个“噪声”版本。

我们用 (t) i 表示对应于第 i个编码比特的对数似然比，用 (t)表示对数似然比向量。设 v(0), v(1),…, v(L− 1) ∈C[n, k]为待传输的 L个编码分组。BMST‐LDPC HARQ方案在算法4中进行了描述。

备注： 无损BMST‐LDPC HARQ方案是指算法4中的 Tmax为无穷大，而截断式BMST‐LDPC HARQ方案是指算法4中的 T max为有限值。在截断式BMST‐LDPC HARQ方案中，为了降低复杂度的增长，当 v(t)译码错误但 v(t+1)译码正确时，译码器不会尝试对v(t)进行译码。

B. BMST-LDPC HARQ方案的吞吐量分析

HARQ系统的长期平均吞吐量（LTAT）定义为每发送符号正确解码的信息比特的平均数量。由于HARQ可以建模为一个马尔可夫过程，其中传输轮次对应于状态，而 HARQ周期对应于一次更新周期[42],，可以使用更新‐奖励定理[48] 计算长期平均吞吐量。它是平均奖励与平均更新时间之间的比值，其中平均奖励定义为每个HARQ周期内正确译码的信息比特数，平均更新时间定义为每个HARQ周期内传输符号的期望数量。令 fi 表示在接收第i次传输 v(0)后第 i轮的译码失败概率。第 i轮成功译码的概率由 fi−1 − fi给出。对于传统无损HARQ方案，吞吐量可计算为

$$
\rho_{\text{lossless}}^c= \frac{R(1 - f_1)+ R(f_1 - f_2)+ \cdots}{1(1 - f_1)+ 2(f_1 - f_2)+ \cdots} = \frac{R}{1+\sum_{i=1}^\infty f_i}. \quad (9)
$$

在实际中，对于传统的截断型HARQ方案，当T max为有限值时，吞吐量可以计算为

$$
\rho_{\text{truncated}}^c = \frac{R(1 - f_{\text{Tmax}})}{1+\sum_{i=1}^{\text{Tmax}-1} f_i}. \quad (10)
$$

对于无损BMST‐LDPC HARQ，我们使用f ′1 表示在接收到 v(0)和 c(1)后的译码失败概率。其他轮次的译码失败概率与传统无损HARQ方案中的相同。对于无损 BMST‐LDPC HARQ方案，吞吐量可以计算为

$$
\rho_{\text{lossless}}^{\text{BMST}} = \frac{R(1 - f_1) + R(f_1 - f’ 1) + R(f’_1 - f_2) + \cdots}{1(1 - f_1) + 1(f_1 - f’_1) + 2(f’_1 - f_2) + \cdots} = \frac{R}{1+ f’_1+\sum {i=2}^\infty f_i}. \quad (11)
$$

对于截断式BMST‐LDPC HARQ方案，当 Tmax为有限值时，长期平均吞吐量可通过以下方式估算

$$
\rho_{\text{truncated}}^{\text{BMST}} \approx \frac{R(1 - f_{\text{Tmax}})}{1+ f’ 1+\sum {i=2}^{\text{Tmax}-1} f_i}. \quad (12)
$$

因此，基于(9)–(12)，通过选择适当的叠加比例 α 以满足 f1′< f1，可以获得BMST‐LDPC HARQ的吞吐量提升。

基于部分叠加的空间耦合LDPC码及其在混合自动重传请求中的应用

IV. 数值结果

在本节中，我们给出了BMST‐LDPC码和 BMST‐LDPC HARQ方案的数值结果。我们采用由PEG 算法[34]构造的(3,6)‐正则LDPC分组码以及5G‐NR LDPC分组码作为基本码。解码采用滑动窗解码算法（算法2）。除非另有说明，全局最大迭代次数为 Jmax= 50，且嵌入式基础LDPC‐BCs使用和积算法进行解码，最大迭代次数为 Imax= 1。对于独立LDPC‐BCs，和积算法最大迭代次数为50。上述设置确保了BMST‐LDPC码与独立 LDPC‐BCs之间具有相似的译码复杂度。在所有示例中，均启用提前停止，并采用基于校验的停止准则。在所有仿真中，编码器每 L= 50个子块进行一次终止。

A. 与空间耦合低密度奇偶校验码的比较

以下示例用于在相等译码延迟约束下比较 BMST‐LDPC码和(3,6)‐规则SC‐LDPC码的性能。

例1.（与(3,6)-规则SC-LDPC码的比较） ：考虑以码率为‐1/2 、长度为1500比特的(3,6)‐正则LDPC‐BC作为基本码。码字 c(t)通过加性高斯白噪声信道以BPSK调制方式进行传输。BMST‐LDPC码的译码窗口大小为 d= 4，解码延迟为6000比特。为了进行比较，我们选择具有相同解码延迟的(3,6)‐规则SC‐LDPC码[49]。(3,6)‐规则 SC‐LDPC码的最大迭代次数为10和20。类似地， BMST‐LDPC码的最大迭代次数为 Jmax= 10或20。误码率性能比较如图5所示，可以看出，BMST‐LDPC码在瀑布区的性能可以达到甚至优于(3,6)‐规则SC‐LDPC码。需要指出的是，由于所提译码算法包含前向递归和后向递归， BMST‐LDPC码每次迭代的复杂度大约是传统SC‐LDPC 码的两倍。然而，由于采用了基于底层LDPC‐BC的提前停止准则，BMST‐LDPC码可能需要更少的迭代次数。实际上，我们观察到，当 J max = 10时，BMST‐LDPC码在高信噪比区域的性能接近最大迭代次数为20的(3,6)‐规则 SC‐LDPC码。

‐规则 SC‐LDPC码在相同解码延迟6000比特下的误码率性能。对于 BMST‐LDPC码，编码时的叠加比例为α= 600/1500，译码窗口大小为 d= 4)

B. 提高5G-NR LDPC分组码的性能

为了实际应用，我们采用5G‐NR LDPC‐BC作为 BMST‐LDPC码的基本码以提升其性能。我们考虑选择矩阵S具有以下形式之一
Sa=[P O O O], Sb=[O P O O], Sc=[O O P O], Sd=[O O O P].

示例2.（变化的选择矩阵 S） ：基本码是一个码率为‐1/2 5G‐NR LDPC‐BC，长度为1920比特，基于BG2[50]并采用扩因子Z= 96构造而成。码字c(t)通过加性高斯白噪声信道以BPSK调制方式传输。窗口大小为 d= 3。不同选择矩阵下BMST‐LDPC码的误码率性能曲线如图6所示，其中我们观察到，使用5G‐NR LDPC‐BC作为基本码并采用选择矩阵S= Sd的BMST‐LDPC码性能优于其他选择矩阵。在误码率为 10−5时，BMST‐LDPC码（S= Sd）相比5G‐NR LDPC‐BC获得了约0.4 dB的编码增益。因此，对于以5G‐NR LDPC‐BC作为基本码的BMST‐LDPC码，可考虑采用选择矩阵S d进行部分叠加。总体而言，得益于叠加耦合带来的更长码长和更强的纠错能力， BMST‐LDPC码的性能优于5G‐NR LDPC‐BC。

C. 性能与延迟之间的权衡

以下是两个示例，用于展示解码性能与延迟之间的权衡。

‐正则LDPC‐BC，长度为1024比特。编码时的叠加比例为 α= 409/1024，解码窗口大小为 d= 3、5和7)

示例3.（加性高斯白噪声信道，变化的 d） ：考虑以码率为1/2、长度为1024比特的(3,6)‐正则LDPC‐BC作为基本码。码字 c(t)通过加性高斯白噪声信道以BPSK调制方式传输。为了进行比较，我们还仿真了码率为1/2、长度为1024比特的(3,6)‐正则LDPC‐BC和码率为1/2、长度为3072比特的(3,6)‐正则LDPC‐BC。误码率性能比较如图7所示，我们观察到BMST‐LDPC码的性能可通过增加窗口大小 d来提升。然而，随着渐近性能接近高斯近界 [6],[12]，性能改善趋于饱和。我们还观察到， BMST‐LDPC码在相同解码延迟下可优于基准LDPC‐BC，在误码率 ≈ 10− 5处获得约0.5 dB的额外编码增益。

示例4.（快衰落信道，变化的 d） ：考虑在示例2 中使用的码率‐1/2 5G‐NR LDPC‐BC基本码。码字 c(t)通过快速衰落信道使用带格雷映射的 16‐QAM进行传输。作为对比，我们还仿真了采用相同 5G‐NR LDPC‐BC的比特交织编码调制LDPC（ BICM‐LDPC）码。误码率性能比较如图8所示，其中观察到 BMST‐LDPC码在BER为10−5时，分别使用窗口大小为2、3 和4的情况下，相较于BICM‐LDPC获得了0.3 dB、0.4 dB和 0.5 dB的编码增益。正如示例2中所讨论的，由于叠加式耦合的作用，BMST‐LDPC码优于BICM‐LDPC方案，从而实现了更好的性能。我们还观察到，通过增加窗口大小 d，可以进一步提升BMST‐LDPC码的性能。因此，我们可以在解码性能与延迟之间进行权衡。

D. 复杂度分析

为了分析所提出的BMST‐LDPC编码方案的复杂度，我们以基本LDPC‐BC的复杂度作为比较基准。对于 BMST‐LDPC码的编码，每个编码比特需要 α次额外的二进制加法。在解码方面，若不考虑提前停止，需要对基本 LDPC‐BC进行 2˜dJmaxImax次解码。在我们的仿真中，采用了基于校验的停止准则。我们以执行基本LDPC‐BC解码的平均迭代次数来衡量复杂度。

示例5.（平均迭代次数） ：我们比较了 BMST‐LDPC码与LDPC‐BC独立传输在解码基本LDPC‐BC时的平均迭代次数，如图9所示。基本码是示例3中使用的LDPC‐BC。码字 c( t )通过BPSK调制在加性高斯白噪声信道上进行传输。叠加比例为 α= 409/1024。图9显示，当信噪比低时，BMST‐LDPC码表现出更高的解码迭代次数。然而，随着信噪比增加，该数值将收敛至LDPC‐BC独立传输方案的水平。也就是说，BMST‐LDPC码在高信噪比区域的复杂度接近于LDPC‐BC。这是由于BMST‐LDPC码具有更好的瀑布区性能以及采用了基于校验的停止准则。

E. 混合自动重传请求应用

以下两个示例用于展示BMST‐LDPC HARQ方案在块衰落信道上的优势。在接收端，使用奇偶校验进行错误检测。对于BMST‐LDPC HARQ，全局最大迭代次数为 Jmax= 2，嵌入式基础LDPC‐BCs通过和积算法（SPA）进行译码，最大迭代次数为 Imax= 25。对于传统 RR‐HARQ中的独立LDPC‐BCs，最大迭代次数为50。考虑以码率为1/2、长度为1024比特的(3,6)‐正则 LDPC‐BC作为基本码。码字 c(t)采用BPSK调制，并在块衰落信道上传输。测试了由算法4总结的BMST‐LDPC HARQ方案。

例6. (BMST-LDPC HARQ方案，可变 Tmax) ：在实际通信系统中，由于端到端延迟始终受到严格限制，截断式 HARQ协议已被广泛采用，例如在5G系统[50]中。以无损 BMST‐LDPC HARQ方案为基准，我们将截断式BMST‐LDPC HARQ方案与不同最大传输次数 T max进行比较。作为对比，我们还使用相同的LDPC‐BC仿真了传统无损RR‐HARQ方案。吞吐量性能如图10所示，从中我们观察到，无损BMST‐LDPC HARQ方案相比传统无损 RR‐HARQ方案可实现高达10%的吞吐量提升。我们还观察到，当 T max ≥ 4时，截断式BMST‐LDPC HARQ方案的吞吐量性能非常接近无损BMST‐LDPC HARQ方案。为了实现良好的吞吐量性能并保持较小的延迟，我们的结果表明 Tmax= 4提供了最佳折衷。

‐正则LDPC‐BC)

示例7.（BMST-LDPC HARQ方案，可变 α） ：通过使用步长为0.1的一维搜索对叠加比例 α进行优化，我们对T max = 4的BMST‐LDPC HARQ方案进行了仿真，结果如图11所示。作为对比，我们还对采用相同LDPC‐BC且T max = 4的传统截断RR‐HARQ方案进行了仿真。图11显示，在截断情况下，所提出的 α= 512/1024的 BMST‐LDPC HARQ方案相比传统RR‐HARQ方案吞吐量提升最高可达10%。该结果也证实，通过优化叠加比例 α，部分叠加能够提升吞吐量性能。

我们还比较了BMST‐LDPC HARQ方案与传统RR‐ HARQ方案的复杂度。复杂度通过每个信息块进行LDPC‐BC解码所需的平均迭代次数来衡量，在我们的仿真中，该值通过统计对应于 LDPC‐BC的子图上的迭代次数获得。当激活 BMST‐LDPC码的解码算法（算法2）时，每次全局迭代需要计数两次，因为涉及两个连续的LDPC‐BC码字。请注意，校验停止准则在BMST‐LDPC HARQ方案和传统 RR‐HARQ方案中均被使用。图12显示，在高信噪比区域， BMST‐LDPC HARQ方案仅导致平均迭代次数的轻微增加。也就是说，所提出的BMST‐LDPC HARQ方案在高信噪比区域相较于传统RR‐HARQ方案不会引起复杂度的显著增加。

‐正则LDPC‐BC，长度为1024比特)

V. 结论

本文提出了一类新的空间耦合码，该码通过以部分叠加的方式采用BMST方法发送LDPC‐BC的码字来构造。所提出的BMST‐LDPC码可以基于相应LDPC‐BC的硬件基础实现。此外，该构造具有通用性，即任何现有的 LDPC‐BC均可用于构造BMST‐LDPC码。我们提出了基于原型图的EXIT图分析方法，以预测BMST‐LDPC码的最优叠加比例。我们还提出了BMST‐LDPC HARQ方案，以提升在块衰落信道上的吞吐量性能。我们的数值结果表明，BMST‐LDPC码相比底层LDPC‐BC可获得高达1.0 dB的编码增益。结果还表明，所提出的BMST‐LDPC HARQ方案相比原始HARQ方案可实现高达10%的吞吐量提升。