3、卡尔曼滤波中的随机变量与序列分析

卡尔曼滤波中的随机变量与序列分析

1. 高斯分布随机变量的表征

高斯（正态）分布及其公式广为人知。若要向外国朋友描述一个随机变量，可将其建模为均值 $\mu = 0$ 、方差 $\sigma^2 = 1.0$ 的高斯（正态）概率密度函数，用符号表示为 $N(\mu, \sigma^2)$ ，此例中即 $N(0, 1.0)$ 。这是一种高度简洁的方式来描述随机信号。朋友可将 $\mu = 0$ 和 $\sigma^2 = 1.0$ 代入相应公式绘制钟形曲线，进而估算随机变量在任意范围内取值的概率，同时曲线能显示概率密度函数的中心（最可能观测到的 $x$ 值）以及取值围绕中心的分布范围。

为了从随机时间序列 $x(t)$ （包含 $N$ 个值）中直接计算均值和方差，可使用以下公式：
- 样本均值：$\mu_x = \frac{1}{N} \sum_{t} x(t)$
- 样本方差：$\sigma_x^2 = \frac{1}{N} \sum_{t} (x(t) - \mu_x)^2$

这里 $t$ 表示离散时间，$x(t)$ 是离散时间序列中的样本，例如从模数转换器获得的值。

2. 直线函数对高斯分布信号的修改

考虑高斯随机变量的样本 $x(t)$ 经过直线函数处理后的情况。该变换将输入信号样本乘以一个常数系数 $m$ ，再加上一个常数 $b$ ，公式为 $y(t) = mx(t) + b$ 。

例如，当 $y(t) = 2x(t) + 1.5$ 时，输入时间序列 $x(t)$ 的样本会投影为输出时间序列 $y(t)$ 的样本。需要注意的是，像 $y(t) = 2x(t) + 1.5$ 这样的函数并非