5、格理论中的常数、约化与算法问题

格理论中的常数、约化与算法问题

1. Rankin常数

1953年，Rankin引入了Hermite常数的推广概念。对于任意$n$秩格$L$和$1\leq m\leq n$，Rankin不变量$\gamma_{n,m}(L)$定义为：
[
\gamma_{n,m}(L)=\min_{\substack{x_1,\cdots,x_m\in L\\mathrm{vol}(x_1,\cdots,x_m)\neq0}}\left(\frac{\mathrm{vol}(x_1,\cdots,x_m)}{\mathrm{vol}(L)^{m/n}}\right)^2=\min_{\substack{S\text{ 是 }L\text{ 的子格}\\dim S = m}}\left(\frac{\mathrm{vol}(S)}{\mathrm{vol}(L)^{m/n}}\right)^2
]
利用一组同时达到所有最小值的线性无关格向量和定理5，可得：
[
\gamma_{n,m}(L)\leq\left(\frac{\prod_{i = 1}^{m}\lambda_i(L)}{\mathrm{vol}(L)^{m/n}}\right)^2\leq\gamma_n^m
]
由此可知，Rankin常数$\gamma_{n,m}=\max_{L}\gamma_{n,m}(L)$（对所有$n$秩格$L$取最大值）是良定义的，且有$\gamma_{n,m}\leq\gamma_n^m$。不过，这个上界并不紧。当$1\leq m\leq n/2$时，使用HKZ约化（后续会定义）可证明：
[
\gamma_{n,m}\leq O(n)^{(n -