16、形式化验证算法：AKS 与 VPL 相关研究

形式化验证算法：AKS 与 VPL 相关研究

1. AKS 算法：素性测试的理论突破

AKS 算法是用于素性测试的决策程序。给定一个数 $n$，若 $n$ 是素数则返回“true”，否则返回“false”。其重要意义在于验证所需的步骤数由 $n$ 的大小（以 $\log_2 n$ 衡量）的某个多项式函数界定，即“PRIMES in P”。

• AKS 主定理
  • 定理内容 ：$\vdash prime\ n \Leftrightarrow 1 < n \land power\ free\ n \land \exists k. prime\ k \land (2 (\log n + 1))^2 \leq order_k(n) \land (\forall j. 0 < j \land j \leq k \land j < n \Rightarrow gcd(n, j) = 1) \land (k < n \Rightarrow \forall c. 0 < c \land c \leq 2 \sqrt{k} (\log n + 1) \Rightarrow (X + c)^n \equiv (X^n + c) (\text{mod } n, X^k - 1))$
  • 算法流程 ：
    1. 输入整数 $n > 1$。
    2. 若 $n = b^m$（$m > 1$），返回“COMPOSITE”。
    3. 寻找满