17、AKS算法核心定理解析与证明

AKS算法核心定理解析与证明

1. 引言

在数论领域，判断一个数是否为素数是一个重要的问题。AKS算法为素性测试提供了一种确定性的解决方案。本文将深入探讨与AKS算法相关的核心定理，包括内省关系、主定理的证明以及相关集合和映射的性质。

2. 内省关系与多项式乘法

内省关系对于多项式具有乘法性质，这一性质在后续的证明中起着关键作用。

2.1 定理6：内省关系对多项式是乘法的

⊢Ring R ∧1 ̸= 0 ⇒∀k p q n. n ⋊⋉p ∧n ⋊⋉q ⇒n ⋊⋉p∗q

证明 ：在 (mod Xk−1) 的环境下，根据 n ⋊⋉p 可得 pn ≡p[[Xn]] ，根据 n ⋊⋉q 可得 qn ≡q[[Xn]] 。因此， (p ∗q)n = pn ∗qn ≡p[[Xn]] ∗q[[Xn]] = (p ∗q)[[Xn]] ，即 n ⋊⋉p ∗q 。

3. AKS主定理重述

AKS主定理可以用内省关系重新表述，该定理表明一个数是素数当且仅当它满足所有的AKS检查。

3.1 定理7：AKS主定理

⊢prime n ⇐⇒ 1 < n ∧p