18、AKS算法机械化与高效并查集实现的验证

AKS算法机械化与高效并查集实现的验证

在数论和数据结构领域，AKS算法的机械化证明以及并查集数据结构的复杂度分析是两个重要的研究方向。本文将深入探讨这两个方面的内容，包括AKS算法机械化过程中的关键定理证明、参数分析，以及并查集数据结构的正确性和摊还复杂度的机器验证。

AKS算法机械化

关键定理证明

在AKS算法的机械化过程中，有几个关键定理起着重要作用。
- 定理22相关证明 ：设 (i, j \in \left[\frac{\mathbb{N}n}{p}\right] {|M|})，且在 (M) 中 (i \equiv j \pmod{k})。若映射要为单射，则需 (i = j)。因为 (\left[\frac{\mathbb{N}n}{p}\right] {|M|} \subseteq \mathbb{N})，所以 (i, j \in \mathbb{N})。根据定理21，每个 (p \in Q_h) 都是 (X^i - X^j) 的根，所以至少有 (|Q_h|) 个根。由定理20可知，(i, j) 都有界于 (n^2\sqrt{|M|})，因此 (\text{deg}(X^i - X^j) \leq n^2\sqrt{|M|})。已知 (n^2|M| < |Q_h|)，对于系数来自有限域 (F) 的多项式 (X^i - X^j)，其根的数量多于次数，这是不可能的，除非该多项式为0，即 (i = j)。
- 定理23证明 ：给定一个能整除 (n) 的素数 (p)，若对于某些指数 (x, y)（(x > 0)）有 (n^x = p^y)，则可