19、赋范空间、局部凸空间与逼近理论

赋范空间、局部凸空间与逼近理论

1. 赋范空间的完备性问题

在某些情况下，若为相同源配备特定的UG - 结构Γ ，且实数集R配备通常的一致规范，当源为((E \stackrel{f}{\to} R) {f \in B {E’}})时，若E是非自反的，那么E不能是UG - 完备的。这是因为Γ 的一致余反射(U_0)对于配备通常一致性的R在相同源下是初始的，此时(B_E)是完全有界的，但由于E非自反，(B_E)不是UG - 完备的，所以((E, \Gamma))也不是UG - 完备的。

2. 局部凸空间相关概念引入

在赋范空间及其对偶空间上存在自然的逼近结构，这些结构量化了弱拓扑和弱*拓扑。我们接下来探究逼近结构与向量空间代数运算相协调的精确条件，会发现拓扑向量空间和局部凸空间能很好地融入这个框架，但逼近情况的条件更为微妙。

2.1 相关定义与性质

• 函数运算定义 ：
  • 若X是加法群，(\phi \in PX)，对于任意(x \in X)，定义(\phi \ominus x : X \to P)为(y \mapsto \phi(y - x))，(\phi^{(2)} : X \times X \to P)为((x, y) \mapsto \phi(y - x))。
  • 对于(\Gamma \subseteq PX)，定义(\Gamma \ominus x := { \phi \ominus x | \phi \in \Gamma })和(\Gamma^{(2)} = { \phi^{(2)} | \phi \in