24、Coxeter群与Dunkl算子：理论探索与应用前景

Coxeter群与Dunkl算子：理论探索与应用前景

1. Coxeter群的定义与基本性质

Coxeter群是一类特殊的有限群，在数学的众多领域都有广泛应用。为了定义Coxeter群，我们先考虑一个有限维欧几里得空间$E$，其维数$\dim_{\mathbb{R}} E \geq 1$，内积为$\langle \cdot, \cdot \rangle$，范数$|\beta| := \langle \beta, \beta \rangle^{1/2}$ 。

对于任意非零向量$\alpha \in E$，我们定义一个线性映射$\sigma_{\alpha}: E \to E$，它是关于与$\alpha$正交的超平面$H_{\alpha}$的正交反射，其中$H_{\alpha} := { \beta \in E \mid \langle \alpha, \beta \rangle = 0 }$。对于任意$x \in E$，可写成$x = y + r\alpha$，其中$y \in H_{\alpha}$，$r \in \mathbb{R}$，则$\sigma_{\alpha}$的作用为$\sigma_{\alpha}: x \mapsto y - r\alpha$。为了遵循一些历史约定，我们将这个作用写在右边，即$x\sigma_{\alpha} = (x)\sigma_{\alpha}$。$\sigma_{\alpha}$的显式公式为：
[x\sigma_{\alpha} = x - \frac{2\langle \alpha, x \rangle}{|\alpha|^2} \alpha, \quad \forall x \in E]

正交群$O(E)$定义为$O(E)