11、位移群与考克斯特群的几何表示

位移群与考克斯特群的几何表示

1. 位移群相关内容

• 腔室的性质
  • 对于腔室 (C)，若一个点在 (C) 中，需满足特定不等式条件。设 (H_m) 为超平面，(t_m) 为向量，当 (0\leq m\leq d) 时，点需在 (H_m) 与 (t_m) 相同的一侧，可转化为不等式 ((t|t_1)>0,\cdots,(t|t_d)>0) 以及 ((t|t_0) > -c)，等价于 (\xi_1>0,\cdots,\xi_d>0) 且 (c_1\xi_1 + \cdots + c_d\xi_d < \epsilon)，由于 (C) 非空，所以 (c>0)。
  • 令 (a_m = a_0+\frac{s}{c_m}t_m)（(1\leq m\leq d)），则腔室 (C) 由 (E) 中形如 (a_0+\sum_{m = 1}^{d}\lambda_m(a_m - a_0)) 的点组成，其中 (\lambda_1>0,\cdots,\lambda_d>0) 且 (\lambda_1+\cdots+\lambda_d < 1)，所以 (C) 是以 (a_0,\cdots,a_d) 为顶点的开单纯形。

• 腔室的分解与 Coxeter 矩阵

  • 若将 (E) 与 (E_0\times E_1\times\cdots\times E_s) 等同，(W) 与 (W_1\times\cdots\times W_s) 等同，根据命题 6，腔室