18、根系理论：基础概念与关键性质解析

根系理论：基础概念与关键性质解析

1. 根系的基本性质与相关命题

在根系理论中，我们首先关注一些特定条件下的等式关系。例如，当 (l = 3) 时：
- 若 (\beta = 1)，则 (q = 0)，(p = 3)，且 ((\beta + \alpha|\beta + \alpha)= 1(\beta|\beta))。
- 若 (\beta = \gamma + \alpha)，则 (q = 1)，(p = 2)，且 ((\beta + \alpha|\beta + \alpha)= (\beta|\beta))。
- 若 (\beta = \gamma + 2\alpha)，则 (q = 2)，(p = 1)，且 ((\beta + \alpha|\beta + \alpha)= 3(\beta|\beta))。在这些情况下，待证明的公式均成立。

接下来是命题 11：假设 (R) 是不可约的，(\alpha) 和 (\beta) 是两个根，且 (|\alpha| = |\beta|)，那么存在 (g \in W(R)) 使得 (g(\alpha) = \beta)。这是因为 (\alpha) 通过 (W(R)) 的变换能生成 (V)，所以存在 (g \in W(R)) 使得 ((g(\alpha)|\beta) \neq 0)。不妨设 ((\alpha|\beta) \neq 0)，由相关公式可知 (n(\alpha, \beta) = n(\beta, \alpha))。必要时用 (S_{\beta}(\beta) = - \beta) 替换 (\beta)，可设 (n(\alpha, \beta) > 0)。此时，要么 (\alpha = \beta)，命