1、Coxeter群与Tits系统：理论基础与实例解析

Coxeter群与Tits系统：理论基础与实例解析

在数学领域中，半单（解析或代数）群及其李代数的研究引导我们关注根系、Coxeter群和Tits系统。接下来，我们将深入探讨Coxeter群的相关概念。

1. Coxeter群的基本概念

在这部分内容里，我们设 (W) 是以乘法表示的群，其单位元为 (1)，(S) 是 (W) 的一组生成元，满足 (S = S^{-1}) 且 (1\notin S)。从第3点开始，我们假定 (S) 中的每个元素的阶都为2。

1.1 长度与简约分解

• 定义 ：设 (w\in W)，(w) 关于 (S) 的长度，记为 (l_S(w)) 或简记为 (l(w))，是使得 (w) 能表示为 (S) 中 (q) 个元素之积的最小非负整数 (q)。(w) 关于 (S) 的简约分解是指 (S) 中元素的序列 (s = (s_1, \cdots, s_q))，满足 (w = s_1\cdots s_q) 且 (q = l(w))。由此可知，长度为0的元素仅有 (1)，而 (S) 中的元素长度均为1。
• 命题 ：设 (w) 和 (w’) 属于 (W)，则有以下公式成立：
  • (l(ww’) \leq l(w) + l(w’))
  • (l(w^{-1}) = l(w))
  • (|l(w) - l(w’)| \leq l(ww’^{-1}))

证明过程如下：设 ((s_1, \cdots, s_p)) 和