69、增量多项式时间算法枚举所有最小边支配集

增量多项式时间算法枚举所有最小边支配集

1. 引言

在图算法中，枚举满足特定属性的所有顶点或边子集是核心问题。输出多项式时间算法指运行时间与输入大小和输出大小之和呈多项式关系的算法。而增量多项式时间算法表现更优，它能在多项式时间内生成下一个输出集，且此时间与输入大小和已生成的输出部分大小相关，增量多项式时间必然意味着输出多项式时间。

经典的超图最小横截集枚举问题，即列出超图所有最小横截集（最小命中集），在数据库理论、机器学习等众多领域有应用。该问题能否在输出多项式时间内解决，几十年来一直是悬而未决的难题。

近期研究表明，超图最小横截集枚举等价于图的最小支配集枚举。若存在输出多项式时间算法枚举图的最小支配集，那么也能解决超图最小横截集的输出多项式时间枚举问题。目前已有针对特定类型图（如具有有界树宽、有界团宽的图，区间图等）的输出多项式算法来枚举最小支配集。

本文证明了线图和大围长图的所有最小支配集可在增量多项式时间内枚举。具体而言，给出的算法在不同类型图上有不同的时间延迟：在线图上为 $O(n^2m^2|L|)$，在二部图的线图上为 $O(n^2m|L|)$，在围长至少为 7 的图上为 $O(n^2m|L|^2)$，其中 $n$ 和 $m$ 分别是输入图的顶点数和边数，$L$ 是已生成的最小支配集集合。这些结果不仅证明了超图横截集枚举问题在两种重要特殊情况下的可处理性，还意味着能在增量多项式时间内枚举任意图的最小边支配集。

本文算法基于超图技术，并引入了翻转方法来生成新的最小支配集。

2. 定义和初步结果

• 图的基本定义 ：考虑有限无向图 $G =