63、数学基础与算法数论知识解析

数学基础与算法数论知识解析

1. “生日”问题

1.1 问题描述

从大小为 $N$ 的集合中均匀选择 $q$ 个元素 $y_1, \cdots, y_q$，存在不同的 $i$ 和 $j$ 使得 $y_i = y_j$ 的概率是多少？我们将这个事件称为碰撞，用 $coll(q, N)$ 表示该事件的概率。这与经典的生日问题相关，生日问题是问需要多大规模的人群，才能使其中至少有两人同一天生日的概率达到 $\frac{1}{2}$。若用 $y_i$ 表示第 $i$ 个人的生日，假设一年 365 天且生日均匀独立分布，那么生日问题的解就是满足 $coll(q, 365) \geq \frac{1}{2}$ 的最小整数 $q$，答案是 $q = 23$。

1.2 碰撞概率的界

当 $q \leq \sqrt{2N}$ 时，碰撞的概率为 $\Theta(\frac{q^2}{N})$；或者当 $q = \Theta(\sqrt{N})$ 时，碰撞的概率为常数。具体有如下引理：
- 引理 A.15 ：固定正整数 $N$，从大小为 $N$ 的集合中均匀独立地选择 $q \leq \sqrt{2N}$ 个元素 $y_1, \cdots, y_q$，则有 $\frac{q \cdot (q - 1)}{4N} \leq 1 - e^{-\frac{q(q - 1)}{2N}} \leq coll(q, N) \leq \frac{q \cdot (q - 1)}{2N}$。
- 上界证明 ：利用联合界（Proposition A.7）。设 $Coll$ 表示碰撞事件，$Colli,j$ 表示