19、求解一类非线性奇异边值问题的有效数值方法

求解一类非线性奇异边值问题的有效数值方法

1. 求解方法概述

在求解非线性奇异边值问题（SBVPs）时，我们期望找到形如特定类型的近似解。设 $\alpha$、$\beta$ 为常数，$m$ 为非负整数，近似解的形式如下：
相关系数 $U(0),U(1),…,U(N)$ 通过以下步骤确定：
1. 根据微分变换的定义和边界值条件，得到相关等式。
2. 将方程两边乘以变量 $x$，再应用微分变换，得到递推关系。
3. 利用特定引理，通过 Adomian 多项式计算非线性函数的微分变换。
4. 代入相关等式，得到截断级数解。
5. 将截断级数解应用于边界条件，得到含未知参数 $\beta$ 的非线性代数方程。
6. 求解该方程，代入 $\beta$ 值得到最终结果。

下面是求解步骤的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[根据定义和条件得等式];
    B --> C[方程乘x并应用微分变换];
    C --> D[计算Adomian多项式];
    D --> E[代入得截断级数解];
    E --> F[应用于边界条件得方程];
    F --> G[解方程并代入得结果];
    G --> H[结束];

2. 近似误差估计

有一个引理给出了近似误差估计的上界。假设 $\tilde{u}(x)$ 是问题的精确解，$u_N(x)$ 是 $N$ 次截断级数解，则有：
[| \tilde{