19、一类非线性奇异边值问题的有效数值解法

一类非线性奇异边值问题的有效数值解法

1. 奇异边值问题的求解方法

在求解一类非线性奇异边值问题（SBVPs）时，我们希望找到形如以下形式的近似解：
[
u_N(x)=\sum_{k = 0}^{N}U(k)x^k
]
其中系数 (U(0),U(1),\cdots,U(N)) 可通过以下步骤确定：
1. 根据微分变换的定义和边界值条件，得到相关等式。假设微分变换定义为：
- 设 (u(x)) 的微分变换为 (U(k))，根据定义和边界条件可得：
- 若边界条件为 (u(0)=\alpha)，则 (U(0)=\alpha)。
- 假设 (U(1)=\beta)，其中 (\beta) 是待确定的实参数。
2. 将原方程两边乘以变量 (x)，再应用微分变换，得到递推关系：
- 原方程 (f(x,u)=0)，两边乘以 (x) 后为 (xf(x,u)=0)。
- 对其应用微分变换，得到 (F(k)) 是 (f(x,u)=f(u)) 的微分变换，递推关系为：
- (\sum_{i = 0}^{k}U(i)F(k - i)=0)
3. 利用相关引理，通过 Adomian 多项式 (A_k) 计算 (F(k))：
- 引理表明，非线性函数的微分变换和 Adomian 多项式具有相同的数学结构，可通过计算相关 Adomian 多项式来推导非线性函数的微分变换。
- 我们使用 Duan 的推论 3 算法来生成 Adomian 多项式。
4. 将 (F(k)) 的表达式代入递推关系，结合前面的假设，得到问题的截断级数解：
- 代入后得到 (u_N(x)=\sum_{k =