19、数值计算中的有限差分法与对称矩阵特征值问题

数值计算中的有限差分法与对称矩阵特征值问题

1. 有限差分法解决边界值问题

有限差分法是解决边界值问题的有效工具。以下是一系列边界值问题及使用有限差分法求解的示例：
- 问题类型及要求
- 问题 1 - 5：使用一阶中心差分近似将边界值问题转化为联立方程 (Ay = b)。
- 问题 6 - 10：使用 (m = 20) 的有限差分法求解给定的边界值问题。
- 部分具体问题示例
|问题编号|微分方程|边界条件|
|----|----|----|
|1|(y’’ = (2 + x)y)|(y(0) = 0)，(y’(1) = 5)|
|2|(y’’ = y + x^2)|(y(0) = 0)，(y(1) = 1)|
|7|(y’’ + 2y’ + y = 0)|(y(0) = 0)，(y(1) = 1)，精确解为 (y = xe^{1 - x})|

除了上述简单的边界值问题，还有一些复杂的实际问题，如梁的位移问题：
- 简支梁位移问题
- 对于一个由三段组成的简支梁，中间段承受均布荷载 (w_0)。通过引入无量纲变量 (\xi = \frac{x}{L})，(y = \frac{EI_0}{w_0L^4}v)，(\gamma = \frac{I_1}{I_0})，可将位移 (v) 的微分方程转化为：
[
\frac{d^2y}{d\xi^2} =
\begin{cases}
-\frac{1}{4}\xi, & 0 < \xi