数值方法与边值问题解析

1、使用MATLAB的roots函数找出下列多项式的所有根：(i) f(x) = 7x^5 - x^3 + 5x - 1；(ii) f(x) = x^4 - 2x^2 + 3x + 4；(iii) x^3 - x^2 + x - 1

在MATLAB中可以按如下步骤求解：

对于(i)，输入

roots([7 0 -1 0 5 -1])

对于(ii)，输入

roots([1 0 -2 3 4])

对于(iii)，输入

roots([1 -1 1 -1])

执行这些语句后MATLAB会分别输出对应多项式的所有根。

2、求非线性方程 e^x + x - 20 = 0 的实根，精确到三位有效数字。

x = 2.842

3、求非线性方程 ln(x) + sqrt(x) - 5 = 0 的实零点，精确到三位有效数字。

x = 8.309

4、以下哪个边界条件不是“分离的”？(a) a₁y(0) + a₂y’(0) = 0; b₁y(2) + b₂y’(2) = 0 (b) a₁y(0) = 0; b₁y(1) = 0 (c) a₁y(0) + a₂y’(1) = 0 (d) a₁y(2) + a₂y’(2) = 0; b₁y(3) + b₂y’(3) = 0

C

5、求解常微分方程 (y’’ + y = 0)，满足边界条件 (y(-\frac{\pi}{4}) = y(\frac{\pi}{4}) = 1)。

y(x)=\sqrt{2}\cos(x)

6、若 φₘ、φₙ 分别是 Sturm - Liouville 问题对应特征值 kₘ、kₙ 的两个特征函数，且 kₘ ≠ kₙ，那么特征函数关于权函数 r 正交；即 ∫₀¹ r(x)φₘφₙdx = 0。判断该陈述是否正确。

在 Sturm-Liouville 问题中，不同特征值对应的特征函数关于权函数 $ r $ 正交是 Sturm-Liouville 理论的重要性质，这一性质常用于求解偏微分方程、展开函数等问题。

当特征值 $ k_m $ 和 $ k_n $ 不相等时，特征函数 $ \varphi_m $ 和 $ \varphi_n $ 关于权函数 $ r $ 在区间 $[0,1]$ 上的积分结果为 0，即：

$$
\int_0^1 \varphi_m(x) \varphi_n(x) r(x) \, dx = 0
$$

该陈述是正确的。

7、Sturm - Liouville（SL）问题的特征函数都是单重的，这种说法是否正确？

该陈述表明在Sturm-Liouville（SL）问题中，每个特征值对应的特征函数是唯一的（在相差一个非零常数倍的意义下），不存在多个线性无关的特征函数对应同一个特征值的情况。

8、Sturm - Liouville问题的特征值构成一个无穷序列，并且可以按照从小到大的顺序排列，即k₁ < k₂ < k₃ <…，判断该说法是否正确。

该陈述表明了Sturm-Liouville问题特征值的一个重要性质，即特征值可以形成一个无限的、按升序排列的序列，此说法正确。

9、在二阶边值问题中，格林函数是由齐次方程的 …………………… 构造出来的。

解

10、格林函数可以被看作是在z = x处对单位脉冲的什么？

响应函数

11、格林函数与边值问题（BVP）的关系，类似于方阵 A 的……与线性代数系统 y = Ax 的关系。

逆矩阵

12、与非齐次方程L[y] = f(x)相关联的格林函数G(x, z)满足微分方程：L[G(x, z)] = δ(x - z)，其中L是微分算子，方程的右边表示狄拉克δ函数。判断该说法是否正确。

正确

13、一旦知道了某个微分算子和特定齐次边界条件下的格林函数，就可以将任何非齐次项的解表示为格林函数解与常微分方程非齐次部分的卷积。

正确

14、如果我们知道格林函数，我们就能求解非齐次微分方程。

正确

15、格林函数满足边界条件。

正确

16、使用边界值格林函数求解问题 (y’’ - x^2 = 0)，并满足以下边界条件：(a) (y(0) = y(1) = 0)；(b) (y(0) = y’(1) = 0)。

• (a) $ y(x) = \frac{x^4 - x}{12} $
• (b) $ y(x) = \frac{x^4 - 4x}{12} $

17、使用 MATLAB 的内置函数 fzero 采用打靶法求解二阶非线性边值问题 y’’ = Ay⁴ + By - C，y(0) = 277，y(4) = 352，其中 A = 2.7×10⁻⁹，B = 5×10⁻²，C = 14.32。

解决方案：首先将非线性二阶常微分方程表示为两个一阶常微分方程
$$ y₁’ = y₂ $$
$$ y₂’ = Ay₁⁴ + By₁ - C $$

使用 MATLAB 匿名函数计算这些方程的右侧。初始斜率（残差函数的根）和右端边界的斜率分别计算为
$$ y’(0) = -20.7793 $$
$$ y’(4) = 63.9573 $$

代码如下：

%shootfzero2.m  y"=Ay^4+By - C  y(0)=277, y(4)=352
clc; clear; close;
global alpha beta span A B C
alpha = 277; beta = 352; span = [0 4];
A = 2.7e-9; B = 0.05; C = 14.32;
root = fzero(@Rsd, -40)  % guess a zero for residual
fun = @(x,y)