几何微积分与张量分析习题解析

1、笛卡尔张量：新坐标系的旋转由$\mathbf{e}’ i = R\mathbf{e}_i\widetilde{R} = \sum {j}\sigma_{ij} \mathbf{e} j$给出，其中$R$是转子，$\sigma {ij} = (R\mathbf{e} i\widetilde{R}) \cdot \mathbf{e}_j$是定义的旋转分量。由此可得$\sum {i}\sigma_{ij} \sigma_{ik} = (R\mathbf{e} i\widetilde{R}) \cdot \mathbf{e}_j(R\mathbf{e}_i\widetilde{R}) \cdot \mathbf{e}_k = (\widetilde{R}\mathbf{e}_j R) \cdot (\widetilde{R}\mathbf{e}_k R) = \delta {jk}$，类似地$\sum_{k}\sigma_{ik} \sigma_{jk} = \delta_{ij}$。线性函数$F$的分量由$F_{ij} = \mathbf{e} i \cdot F(\mathbf{e}_j)$给出。向量$\mathbf{v}$的分量为$v_i = \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{v}$；在变换下，其分量变为$v’_i = \mathbf{e}’_i \cdot \mathbf{v} = \sum {j}\sigma_{ij} v_j$。向量$F(\mathbf{v})$的分量由$\mathbf{e} i \cdot F(\mathbf{v}) = \mathbf{e}_i \cdot F(v_j \mathbf{e}_j) = F {ij} v_j$给出。基于这些方程，证明以下关系：i. 如果$F$和$G$是一对线性函数，验证$((FG) {ij} = FG(\mathbf{e}_j) \cdot \mathbf{e}_i = G(\mathbf{e}_j) \cdot F(\mathbf{e}_i) = G(\mathbf{e}_j) \cdot \mathbf{e}_k \mathbf{e}_k \cdot F(\mathbf{e}_i) = F {ik} G_{kj}$。ii. 如果坐标系变换为新的旋转坐标系，秩为2的张量的分量变换由$F’ {ij} = \sum {k}\sum_{l}\sigma_{ik} \sigma_{jl} F_{kl}$给出。

i. 首先，根据线性函数分量的定义，$(FG)_{ij} = FG(\mathbf{e}_j) \cdot \mathbf{e}_i$。因为 $F$ 和 $G$ 是线性函数，且向量在基向量下可展开，$F(\mathbf{e}_i)$ 和 $G(\mathbf{e}_j)$ 可表示为基向量的线性组合。  
$$
G(\mathbf{e}_j) \cdot F(\mathbf{e}_i) = G(\mathbf{e}_j) \cdot \sum_{k} \mathbf{e}_k (\mathbf{e}_k \cdot F(\mathbf{e}_i))
$$
（利用向量在基下的展开），又因为  
$$
F_{ik} = \mathbf{e}_i \cdot F(\mathbf{e}_k), \quad G_{kj} = \mathbf{e}_k \cdot G(\mathbf{e}_j),
$$  
所以  
$$
G(\mathbf{e}_j) \cdot \mathbf{e}_k \mathbf{e}_k \cdot F(\mathbf{e}_i) = \sum_{k} F_{ik} G_{kj},
$$  
即  
$$
(FG)_{ij} = F_{ik} G_{kj}.
$$

ii. 已知  
$$
\