【ZJOI2010】【BZOJ2111】排列计数

【题目链接】

• BZOJ2111

【前置技能】

• Lucas定理
• 组合数学

【题解】

• 比较简单的理解方法应该是认为这是一棵堆式存储的二叉树，即$i$号节点的父亲是$\lfloor \frac{i}{2}\rfloor$号节点。问题就是求满足父亲的权值比儿子小的排列的方案数。
• 首先，根节点一定是最小的数，然后其余的数字就会分给左右两棵子树。发现两棵子树相互之间是不影响的，且将剩下的数分到两个子树的方案都是可行的。乘法原理，$ans=\prod _{pos}{C}_{size[ls]+size[rs]}^{size[ls]}$。
• 因为模数$p\le 10^9$且为质数，所以用Lucas定理求组合数。
• 时间复杂度$O(NlogP)$

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
#define	INF	0x3f3f3f3f
#define	LL	long long
#define	MAXN	1000010
using namespace std;
int n, mod, fac[MAXN], inv[MAXN], size[MAXN], ans; 

template <typename T> void chkmin(T &x, T y){x = min(x, y);}
template <typename T> void chkmax(T &x, T y){x = max(x, y);}
template <typename T> void read(T &x){
    x = 0; int f = 1; char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) {if (ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
    while (isdigit(ch)) {x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    x *= f;
}

int qpow(int a, int b){
    int ret = 1;
    while (b){
        if (b & 1) ret = 1ll * ret * a % mod;
        a = 1ll * a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

void init(){
    int cnt = min(n, mod - 1);
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= cnt; ++i)
        fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod; 
    inv[cnt] = qpow(fac[cnt], mod - 2);
    for (int i = cnt - 1; i >= 0; --i)
        inv[i] = 1ll * (i + 1) * inv[i + 1] % mod;
}

int C(int n, int m){
    int ret = 1ll * inv[m] * inv[n - m] % mod;
    ret = 1ll * ret * fac[n] % mod;
    return ret;
}

int lucas(int n, int m){
    if (m > n) return 0;
    if (m == 0) return 1;
    return 1ll * lucas(n / mod, m / mod) * C(n % mod, m % mod) % mod;
}

int main(){
    read(n), read(mod);
    init();
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        size[i] = 1;
    for (int i = n; i >= 2; --i)
        size[i / 2] += size[i];
    ans = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
        if (size[i] == 1) continue;
        if (i * 2 <= n) ans = 1ll * ans * lucas(size[i] - 1, size[i * 2]) % mod;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}