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wanherun

于 2017-09-10 19:32:46 发布

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分类专栏：刷题总结动归与递推文章标签：数学

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动归与递推

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本文介绍了一种使用递归和记忆化搜索的方法来计算具有特定数量节点的小根堆的不同结构总数。通过定义递推公式并利用Lucas定理解决组合数计算中涉及的大数问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

转化一下题意，求有n个节点的小根堆一共有几种。

那么，显然递推了。

f[x]=C(x-1,left)*f[x-1-left]*f[left]

left表示一个儿子的大小。
显然，记忆化好写很多。

要用Lucas

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define MAXN 1000000
using namespace std;
LL fac[MAXN+1],n,p;
LL dp[MAXN+1];
LL ksm(LL A,LL B,LL C)
{
    LL Ans=1;
    while(B)
    {
        if(B&1)Ans=Ans*A%C;
        A=A*A%C;
        B>>=1;
    }
    return Ans;
}
LL C(LL N,LL M,LL P)
{
    return fac[N]*ksm(fac[M],P-2,P)%P*ksm(fac[N-M],P-2,P)%P;
}
LL Lucas(LL N,LL M,LL P)
{
    if(N==0||M==0)return 1;
    return Lucas(N/P,M/P,P)*C(N%P,M%P,P)%P;
}
LL f(LL x)
{
    if(dp[x])return dp[x];
    if(x==0)return dp[x]=1;
    if(x==1)return dp[x]=1;
    LL dep=log2(x);
    LL tot=((LL)1<<dep)-1;
    LL left=(tot-1)/2+min(x-tot,(tot+1)/2);
    return dp[x]=Lucas(x-1,left,p)*f(x-1-left)%p*f(left)%p;
}
int main()
{
    cin>>n>>p;
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    cout<<f(n);
    return 0;
}