BZOJ 2111 [ZJOI2010]Perm 排列计数

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本文介绍了一种使用组合数和Lucas定理解决特定排列计数问题的方法。通过计算小根堆数目来解决问题，并详细展示了如何利用Lucas定理进行大数计算，适用于质数p条件下求组合数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

组合数+Lucas定理

题目可以转化成求1~n排列的小根堆数目，那么对于每一个i位置，他的子树节点个数是确定的，记为f[i]，那么有f[i]=C(siz[i-1],siz[i<<1])*f[i<<1]*f[i<<1|1]

注意到n可能大于p，套Lucas定理即可

【Lucas定理】注意，当且仅当p是质数时才可以用Lucas定理。在不考虑求逆元的情况下，单次时间复杂度 $O(log_pn)$

#include<cstdio>
#define N 1000005
#define ll long long
using namespace std;
int n, p, siz[N<<1];
ll fac[N], inv[N], f[N<<1];
void init()
{
    fac[0]=1;
    for(int i = 1; i <= n && i < p; i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    inv[1]=1;
    for(int i = 2; i <= n && i < p; i++)
        inv[i]=-(p/i)*inv[p%i]%p;
    inv[0]=1;
    for(int i = 1; i <= n && i < p; i++)
        inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%p;

    for(int i = n; i; i--)
        siz[i]=siz[i<<1]+siz[i<<1|1]+1; 

    for(int i = n+1, ii = 2*N; i < ii; i++)
        f[i]=1;
}
ll C(int m, int n)
{
    if(m<n)return 0;
    if(m<=p && n<=p)
    {
        return fac[m]*inv[n]%p*inv[m-n]%p;
    }
    else return C(m/p,n/p)*C(m%p,n%p)%p;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    init();
    for(int i = n; i; i--)
        f[i]=f[i<<1]*f[i<<1|1]%p*C(siz[i]-1,siz[i<<1])%p;
    printf("%lld\n",(f[1]+p)%p);
}