49、界面热通量数值估计与斜交混合夹层板建模分析

界面热通量数值估计与斜交混合夹层板建模分析

1. 界面热通量的数值估计

1.1 问题描述

在热传导问题中，准确估计界面热通量是一个重要的研究方向。这里考虑一个空心圆柱体，假设其顶部和底部绝缘，热通量在径向为一维分布。通过测量圆柱壁内的瞬态温度变化数据、圆柱材料的热物理性质以及外表面的边界条件，利用逆问题方法来估计内表面的瞬态热通量。

1.2 问题公式化

1.2.1 正问题

正问题是在已知材料的热物理性质和圆柱试样的边界条件下，计算圆柱壁内的瞬态温度。假设热传递仅在径向进行，初始时圆柱温度为$T_0$，内表面有均匀热通量$Q(t)$，外表面存在对流换热，换热系数为$h$。正问题的方程如下：
[
\begin{cases}
\frac{\partial^2T}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial r}=\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}, & r_1 < r < r_2, t > 0 \
Q(t)=-k\frac{\partial T}{\partial r}, & r = r_1, t > 0 \
-k\frac{\partial T}{\partial r}=h(T_N - T_{\infty}), & r = r_2, t > 0 \
T = T_0, & r_1 \geq r \leq r_2, t = 0
\end{cases}
]

1.2.2 逆问题

逆问题将热通量$Q(t)$视为未知量，其他求解正问题所需的条件均为已知。将圆柱壁划分为$N$个网格点，热电偶位于网格点 2 到$N - 1$，等间距为$\Delta r$。测量这些热电偶的温度数据直到时间$t = t_f$，记为$Y(t) \equiv Y_i, i = 1, 2, \cdots, N$。为了求解逆问题，需要最小化以下函数：
[
S[Q(t)]=\int_{0}^{t_f}\left(\sum_{i = 2}^{N - 1}(T_i - Y_i)^2\right)dt
]
其中$T_i$和$Y_i$分别是估计温度和测量温度。

1.2.3 灵敏度问题

灵敏度问题从正问题推导而来。首先将正问题中的$Q(t)$替换为$Q(t) + \Delta Q(t)$，$T(r, t)$替换为$T(r, t) + \Delta T(r, t)$，得到新的表达式，然后减去原正问题的表达式，忽略二阶项后得到灵敏度函数$\Delta T(r, t)$的灵敏度问题。灵敏度函数用于计算迭代求解中所需的搜索步长$\beta_k$。

1.2.4 伴随问题

在逆问题中，估计温度需要满足圆柱壁的热传导问题这一约束条件，因此引入拉格朗日乘子$\lambda(r, t)$，用于计算梯度方程。需要求解伴随问题来确定拉格朗日乘子$\lambda(r, t)$。

1.2.5 梯度方程

函数$S[Q(t)]$的梯度$\nabla S[Q(t)]$的表达式为：
[
\nabla S[Q(t)]=\left(\frac{\lambda(r_1, t)}{K}\right)
]

1.2.6 迭代过程

热通量$Q(t)$的迭代估计过程如下：
[
Q_{k + 1}(t)=Q_k(t)-\beta_kd_k(t)
]
其中$\beta_k$是从迭代$k$到迭代$k + 1$的搜索步长，$d_k(t)$是下降方向，由下式给出：
[
d_k(t)=\nabla S[Q_k(t)]+\gamma_kd_{k - 1}(t)
]
$\gamma_k$是共轭系数，由以下表达式确定：
[
\gamma_k=\frac{\int_{0}^{t_f}\left(\nabla S[Q_k(t)]\right)^2dt}{\int_{0}^{t_f}\left(\nabla S[Q_{k - 1}(t)]\right)^2dt}, \quad k = 1, 2, \cdots
]
且$k = 0$时，$\gamma_k = 0$。搜索步长$\beta_k$通过最小化函数$S[Q(t)]$得到：
[
\beta_k=\frac{\int_{0}^{t_f}\left(\sum_{i = 2}^{N - 1}(T_i - Y_i)\Delta T_i\right)dt}{\int_{0}^{t_f}\left(\sum_{i = 2}^{N - 1}[\Delta T_i]^2\right)dt}
]
其中$T_i$是正问题的解，$\Delta T_i$是灵敏度问题的解。

1.2.7 停止准则

停止准则为$S[Q(t)] < \varepsilon$，其中$\varepsilon$的选择要使得在测量温度包含随机误差的情况下得到平滑的解。当$|Y(t) - T[x_{meas}, t; Q(t)]| \approx \sigma$（$\sigma$是测量误差的标准差）时，认为解足够准确，此时$\varepsilon$由下式得到：
[
\varepsilon = nt_f\sigma^2
]
其中$n$是热电偶的总数。

1.2.8 计算算法

计算算法的步骤如下：
1. 使用不同的测试函数生成模拟数据$Y(r, t)$。
2. 假设$Q(t)$的初始猜测值$Q_0(t)$，令$k = 0$。
3. 使用初始猜测值$Q_k(t)$求解正问题，计算$T(r, t)$。
4. 使用$Y(r, t)$和$T(r, t)$检查停止准则，若不满足则继续。
5. 求解伴随问题，计算$\lambda(r_1, t)$。
6. 已知$\lambda(r_1, t)$，根据梯度方程计算$\nabla S[Q(t)]$的每个分量。
7. 已知梯度$\nabla S[Q(t)]$，计算$\gamma_k$和下降方向$d_k(t)$。
8. 令$Q_k(t) = d_k(t)$，求解灵敏度问题得到$\Delta T(r, t)$。
9. 已知$\Delta T(r, t)$，计算搜索步长$\beta_k$。
10. 已知搜索步长$\beta_k$和下降方向$d_k(t)$，计算新的估计值$Q_{k + 1}(t)$，并返回步骤 3。

1.3 数值实现

为了解决上述逆问题，需要圆柱壁内的瞬态温度分布测量数据。这里使用模拟测量数据代替实验测量数据。模拟温度测量值通过正问题的解在固定径向热电偶位置得到，考虑测量误差时，模拟测量值为：
[
Y(r_{meas}, t)=Y_{ex}(r_{meas}, t)+\omega\sigma
]
其中$Y(r_{meas}, t)$是包含随机误差的模拟测量值，$Y_{ex}(r_{meas}, t)$是无误差的模拟测量值，$\omega$是服从正态分布、均值为 0、标准差为 1 的随机变量，$\sigma$是测量误差的标准差。

考虑一个空心圆柱体，内半径$r_1 = 75$mm，外半径$r_2 = 100$mm，材料为铜，热导率$k = 385$W/(m·K)，热扩散率$\alpha = 1.11×10^{-4}$。将壁划分为 6 个网格点，空间步长$\Delta r = 5×10^{-3}$m，时间步长$\Delta t = 1$s。采用隐式有限差分法进行离散化，因为它无条件稳定且收敛速度快。

为了测试逆方法，使用了以下几种测试函数：
| 测试函数类型 | 函数表达式 |
| ---- | ---- |
| 余弦函数 | $Q(t)=Q_0\cos(\frac{\pi t}{18})$，其中$Q_0 = 10^5$W/m² |
| 阶跃函数 | $Q(t)=\begin{cases}1×10^5, & 0\leq t\leq45 \ 5×10^3, & 45\leq t\leq100\end{cases}$ |
| 三角函数 | $Q(t)=\begin{cases}2×10^3t, & 0\leq t\leq44 \ (200 - 2t)×10^3, & 44\leq t\leq100\end{cases}$ |
| 多项式函数 | $Q(t)=C_1 + C_2t + C_3t^2 + C_4t^3$，其中$C_1 = 10^5$，$C_2 = -900$，$C_3 = 100$，$C_4 = -1$ |

1.4 结果与讨论

选择了四种测试函数来分析逆方法预测热通量随时间变化的可靠性。为了减少误差，在起始时间提前 6%，结束时间延长 6%。

1.4.1 余弦函数

当使用余弦函数生成模拟数据时，对于无测量误差（$\sigma \approx 0$）、$\sigma = 0.2$和$\sigma = 0.5$三种情况，估计热通量与精确值进行比较。无测量误差时，估计热通量与精确值非常接近，百分比误差为 0.59%。当包含测量误差时，估计热通量在曲线的峰值和谷值处与精确值有差异，且$\sigma = 0.2$的结果优于$\sigma = 0.5$，对应的百分比误差分别为 1.45%和 1.86%。

1.4.2 阶跃函数

阶跃函数的估计结果与精确函数在大部分区域吻合良好，但在尖锐角落处有偏差。加入测量误差后，偏差增大。无测量误差、$\sigma = 0.2$和$\sigma = 0.5$时的百分比误差分别为 1.6%、3.4%和 4.7%，阶跃函数的误差值最大，但该方法仍能以合理的精度恢复阶跃函数。

1.4.3 三角函数

三角函数的估计结果与精确值匹配良好，仅在顶点处有偏差。无测量误差、$\sigma = 0.2$和$\sigma = 0.5$时的百分比误差分别为 0.29%、1.81%和 2.55%，表明该方法对三角函数具有良好的适用性。

1.4.4 多项式函数

多项式函数的估计结果与精确函数有较好的准确性，但加入随机误差后准确性降低。无测量误差、$\sigma = 0.2$和$\sigma = 0.5$时的百分比误差分别为 0.12%、1.06%和 2.02%，证明该逆分析方法适用于金属铸造中界面热通量的估计。

1.5 结论

利用共轭梯度法和伴随问题的函数估计逆技术，成功估计了空心圆柱体内表面的热通量。通过模拟不同类型的热通量函数，结果表明估计热通量与精确值在大部分区域吻合良好，但在尖锐角落处有偏差，且测量误差会增加偏差。该逆技术是一种高效、强大的方法，适用于金属铸造中界面热通量的研究，特别是在金属凝固过程中。

以下是整个过程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[生成模拟数据 Y(r, t)] --> B[假设初始猜测值 Q0(t), k = 0];
    B --> C[求解正问题, 计算 T(r, t)];
    C --> D[检查停止准则];
    D -- 不满足 --> E[求解伴随问题, 计算 λ(r1, t)];
    E --> F[计算 ∇S[Q(t)]];
    F --> G[计算 γk 和 dk(t)];
    G --> H[求解灵敏度问题, 计算 ΔT(r, t)];
    H --> I[计算搜索步长 βk];
    I --> J[计算新的估计值 Qk+1(t)];
    J --> C;
    D -- 满足 --> K[结束];

2. 斜交混合夹层板的建模与分析

2.1 引言

夹层板为需要减轻重量的结构提供了轻质且刚性的构造。斜交夹层板在飞机的后掠翼等结构中很常见，可以将其理想化为斜板。本文对斜交混合夹层板进行结构动力学分析。

2.2 研究背景

许多研究者已经对各向同性和正交各向异性的斜交夹层板进行了研究。例如，Lok 和 Cheng 研究了厚板中具有均匀正交各向异性材料的桁架芯夹层板的动态响应；Wang 等人研究了由正交各向异性芯和层合面组成的夹层板的自由振动分析；Kapuria 和 Kulkarni 对带有分段压电材料的智能板进行了动态分析等。然而，对于斜交混合板的详细分析仍有研究空间，本文的动机是利用压电层与夹层板结合进行形状控制和振动抑制应用。

2.3 模型建立

斜交混合夹层板由四个层合面和一个软芯（90/0/C/0/90）组成，具有悬臂边界条件。该斜板是一种混合复合材料，底部和顶部有压电层与弹性基板粘结。使用 ANSYS 对中等厚度的斜交夹层板进行建模，层合面采用八节点壳单元，软芯采用 20 节点实体单元。

2.4 研究内容

研究了不同斜角下斜交混合夹层板的自由弯曲振动行为，并将结果与文献中的结果进行比较。引入压电层的目的是将其用作传感器和执行器，用于结构构件的形状控制和振动抑制应用。

2.5 总结

通过对斜交混合夹层板的研究，有助于更好地了解带有粘结压电层的层合夹层板的行为。虽然已有很多关于夹层板的研究，但对于斜交混合板的详细分析仍有价值，特别是在利用压电层进行形状控制和振动抑制方面。未来可以进一步研究不同材料特性、边界条件和斜角对斜交混合夹层板性能的影响。

以下是斜交混合夹层板研究的主要步骤列表：
1. 确定斜交混合夹层板的结构组成和边界条件。
2. 使用 ANSYS 进行建模，选择合适的单元类型。
3. 研究不同斜角下的自由弯曲振动行为。
4. 将结果与文献中的结果进行比较。
5. 探讨压电层在形状控制和振动抑制中的应用。

2.6 详细研究过程

2.6.1 材料与几何参数确定

在建立斜交混合夹层板模型之前，需要明确其材料和几何参数。对于层合面和软芯，要确定它们各自的弹性模量、泊松比等力学性能参数。同时，确定斜交板的尺寸，包括长度、宽度以及斜角的大小。例如，对于一个特定的斜交混合夹层板，其长度可能为$L$，宽度为$W$，斜角为$\theta$。不同的尺寸和斜角会对板的振动特性产生显著影响。

2.6.2 ANSYS 建模步骤

使用 ANSYS 进行建模时，具体步骤如下：
1. 定义单元类型 ：根据夹层板的结构特点，为层合面选择八节点壳单元，为软芯选择 20 节点实体单元。在 ANSYS 中，通过相应的命令或菜单选项来指定这些单元类型。
2. 定义材料属性 ：输入层合面和软芯材料的力学性能参数，如弹性模量、泊松比等。这些参数将用于后续的力学分析。
3. 创建几何模型 ：根据确定的尺寸和斜角，在 ANSYS 中创建斜交混合夹层板的几何模型。可以使用基本的几何创建工具，如长方体、平面等，来构建板的形状。
4. 划分网格 ：对几何模型进行网格划分，将其离散为有限个单元。合理的网格划分对于计算结果的准确性至关重要。可以根据模型的复杂程度和计算要求，选择合适的网格密度。
5. 施加边界条件 ：根据实际情况，为模型施加悬臂边界条件。在 ANSYS 中，可以通过约束节点的位移自由度来实现。例如，固定板的一端，限制该端节点在各个方向上的位移。

2.6.3 自由弯曲振动分析

在完成建模和边界条件施加后，进行自由弯曲振动分析。具体过程如下：
1. 设置分析类型 ：在 ANSYS 中选择模态分析类型，用于求解板的固有频率和振型。
2. 求解方程 ：ANSYS 会根据模型的几何、材料和边界条件，建立相应的动力学方程，并求解这些方程，得到板的固有频率和振型。
3. 结果提取与分析 ：从求解结果中提取不同斜角下的固有频率和振型数据。通过分析这些数据，可以了解斜角对板的自由弯曲振动行为的影响。例如，可以绘制固有频率随斜角变化的曲线，观察频率的变化趋势。

2.7 结果分析与比较

2.7.1 固有频率分析

通过对不同斜角下的固有频率进行分析，可以发现斜角对板的振动特性有显著影响。一般来说，随着斜角的增大，板的固有频率会发生变化。可能会出现固有频率升高或降低的情况，这取决于板的结构和材料特性。例如，对于某些特定的斜交混合夹层板，当斜角从$0^{\circ}$逐渐增大到$45^{\circ}$时，其第一阶固有频率可能会逐渐降低。

2.7.2 振型分析

振型反映了板在振动时的变形形态。不同斜角下，板的振型也会有所不同。通过观察振型图，可以直观地了解板在不同振动模式下的变形情况。例如，在某些斜角下，板可能会出现弯曲和扭转的复合振型，而在其他斜角下，可能主要表现为单纯的弯曲振型。

2.7.3 与文献结果比较

将本文的分析结果与文献中的结果进行比较，可以验证模型的准确性和分析方法的可靠性。如果两者结果吻合较好，说明本文的研究方法是可行的；如果存在差异，则需要进一步分析原因，可能是模型的简化、材料参数的不同或分析方法的差异等。

2.8 压电层的应用分析

2.8.1 传感器功能

压电层可以作为传感器，用于监测斜交混合夹层板的振动状态。当板发生振动时，压电层会产生电荷，通过测量电荷的变化，可以获取板的振动信息。例如，可以在板的关键位置布置压电传感器，实时监测板的振动频率和振幅，以便及时发现潜在的问题。

2.8.2 执行器功能

压电层还可以作为执行器，用于抑制板的振动。通过施加外部电压，可以使压电层产生变形，从而对板的振动进行主动控制。例如，当检测到板的振动超过一定阈值时，可以通过控制系统向压电执行器施加相应的电压，产生与振动方向相反的力，从而减小板的振动幅度。

2.9 总结与展望

2.9.1 总结

通过对斜交混合夹层板的建模与分析，我们深入了解了其结构动力学特性。研究结果表明，斜角对板的自由弯曲振动行为有显著影响，同时压电层在形状控制和振动抑制方面具有潜在的应用价值。本文的研究方法和结果为斜交混合夹层板的设计和优化提供了理论依据。

2.9.2 展望

未来的研究可以进一步拓展和深化。例如，可以考虑更复杂的材料特性，如材料的非线性、各向异性等；研究不同边界条件下斜交混合夹层板的性能；探索压电层与其他智能材料的组合应用，以提高形状控制和振动抑制的效果。此外，还可以进行实验研究，验证理论分析的结果，为实际工程应用提供更可靠的支持。

以下是斜交混合夹层板研究过程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[确定材料与几何参数] --> B[ANSYS 建模];
    B --> C[施加边界条件];
    C --> D[自由弯曲振动分析];
    D --> E[结果提取与分析];
    E --> F[与文献结果比较];
    F --> G[压电层应用分析];
    G --> H[总结与展望];

综上所述，界面热通量的数值估计和斜交混合夹层板的建模与分析是两个具有重要工程应用价值的研究领域。通过本文的研究，我们不仅掌握了相关的理论方法和分析技术，还为实际工程问题的解决提供了有益的参考。在未来的研究中，我们可以进一步探索这些领域的未知问题，推动相关技术的发展和应用。