信号与系统_线性时不变系统

定义

• 时不变性:如果在输入信号上有一个时移,而在输出信号中产生同样的时移,那么这个系统就是时不变的.也就是说,若$y[n]$是一个离散时间时不变系统在输入为$x[n]$时的输入,那么当输入为$x[n-n_0]$时,输入就是$y[n-n_0]$.
• 线性:令$y_1(t)$,$y_2(t)$分别为连续时间系统对$x_1(t)$,$x_2(t)$的响应,则对一个线性系统,有:
  
  • $y_1(t)+y_2(t)$是对$x_1(t)+x_2(t)$的响应
  • $ay_1(t)$是对$ax_1(t)$的响应,其中$a$为任意复常数
• 无记忆系统:一个系统的输出仅仅取决于该时刻的输入,这个系统就称为无记忆系统
• 因果性:如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入和过去的输入,则该系统就称为因果系统
• 奇异函数:函数本身有不连续点(跳跃点)或其导数和积分有不连续点的一类函数.

卷积和

公式

• 离散系统
  $$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]=x[k]*h[k] \tag{1}$$
  $h[k]$为$y[k]$的单位冲激响应
• 连续系统
  $$y[t] = \int_{-\infty}^{+\infty} x[τ]h[t-τ]dτ=x[t]*h[t] \tag{2}$$
  $h[t]$为$y[t]$的单位冲激响应

结论

一个线性时不变系统的特性可以完全由它的冲激响应来决定