系统函数,频率响应定义

基本概念

• 复指数集包括连续时间的$e^{st}$ 和离散时间信号的$z^N$信号,其中$s$和$z$都是复数.一般来说,$s$和$z$可以是任意复数,但傅里叶分析仅限于这些变量的特殊形式.
  
  • 在连续时间情况下仅涉及$s$的纯虚部值,即$s=jw$,因此仅考虑$e^{jwt}$形式的复指数.
  • 在离散时间情况下仅限于单位振幅的$z$值,即$z=e^{jw}$,因此仅考虑$e^{jwn}$形式的复指数.
• 一个线性时不变系统的特性可以完全由它的冲激响应来决定
  
  • 离散系统
    $$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]=x[k]*h[k]$$
    $h[k]$为$y[k]$的单位冲激响应
  • 连续系统
    $$y[t] = \int_{-\infty}^{+\infty} x[τ]h[t-τ]dτ=x[t]*h[t]$$
    $h[t]$为$y[t]$的单位冲激响应

---

线性时不变系统对复指数信号的响应

• 在研究线性时不变系统时,将信号表示为基本信号的线性组合是有利的,这些基本信号应该具有以下两个性质.

  • 有这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号
  • 线性时不变系统对每一个基本信号的响应应该十分简单,以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式

• 连续和离散时间信号集都具有上述两个性质,即连续时间的$e^{st}$ 和离散时间信号的$z^N$信号,其中$s$和$z$都是复数.

• 在研究线性时不变系统时,复指数信号的重要性在于这样一个事实.即一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号,不同的只是幅度上的变换,即
  $$e^{st}\rightarrow H(s)e^{st} \\ z^N\rightarrow H(z)z^N \tag{1}$$
  其中$H(s)$或$H(z)$是一个复振幅因子,一般来说是复变量$s$或$z$的函数.

对公式(1)的证明如下

• 连续时间系统,其单位冲激响应为$h(t)$,输入$x(t)=e^{st}$
  $$\begin{align} y(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty} h(τ)x(t-τ)dτ \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}h(τ)e^{s(t-τ)}dτ \\ &=e^{st} \int_{-\infty}^{+\infty}h(τ)e^{-sτ}dτ \end{align}$$
  令$H(s)= \int_{-\infty}^{+\infty}h(τ)e^{-sτ}dτ$ ,假定$H(s)$收敛,于是系统对$e^{st}$的响应为
  $$y(t)=H(s)e^{st}$$
  其中$H(s)$是一个常复数,其值决定于$s$.
• 离散时间系统,其单位冲激响应为$h(n)$,输入$x(n)=z^n$
  $$\begin{align} y(n) &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} h(k)x(n-k) \\ &=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} h(k)z^{n-k} \\ &=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} z^nh(k)z^{-k} \end{align}$$
  令$H(z)= \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)z^{-k}$ ,假定$H(z)$收敛,于是系统对$z^n$的响应为
  $$y(n)=H(z)z^n$$
  其中$H(z)$是一个常数,其值决定于$z$.

系统函数/频率响应

• 当s和z是一般复数时,$H(s)$和$H(z)$就称为该系统的系统函数.
  
  • 一般复数就是指:
    
    • 在连续时间情况下仅涉及s的纯虚部值,即$s=jw$,因此仅考虑$e^{jwt}$形式的复指数.
    • 在离散时间情况下仅限于单位振幅的zz值,即z=ejwz=ejw,因此仅考虑ejwnejwn形式的复指数.
• 对连续信号,具有$s=jw$形式的系统函数即$H(s)=H(jw)$就称为该系统的频率响应.
  $$H(jw)= \int_{-\infty}^{+\infty}h(t)e^{-jwt}dt\tag{2}$$
• 对离散信号,具有$z=e^{jw}$形式的系统函数即$H(z)=H(e^{jw})$就称为该系统的频率响应.
  $$H(e^{jw})= \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)e^{-jwk}\tag{3}$$

---

求频响方法

• 第一种,先求取冲激响应,在由公式(2)或(3)求取频率响应. 参考例1
  此方法也就是对h(t)做傅里叶变换
• 第二种,根据公式(1),令$x(t)=e^{jwt}$,$y(t)=H(jw)e^{jwt}$,将其代入微分方程求解. 参考例2

---

例1.

• 考虑一个线性时不变系统,它在输入值上连续取2点平均,求其频率响应
  $$y[n] = \frac{1}{2}(x[n]+x[n-1])$$
• 解:冲激响应为(代入$x[n]=\delta[n]$)
  $$h[n]=\frac{1}{2}(\delta[n]+\delta[n-1])$$
• 由公式(3),其频率响应为
  $$\begin{align} H(e^{jw})&= \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)z^{-jwk} \\ &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2}(\delta[k]+\delta[k-1])z^{-jwk} \\ &=\frac{1}{2}(1+e^{-jw}) \\ &= \frac{1}{2}(1+cosw - jsinw) \\ &= \frac{1}{2}(2cos^2\frac{w}{2} - 2jsin\frac{w}{2}cos\frac{w}{2}) \\ &= cos\frac{w}{2}(cos\frac{w}{2}-sin\frac{w}{2}) \\ &= e^{-\frac{jw}{2}}cos\frac{w}{2} \\ \end{align}$$
• $H(e^{jw})$幅相曲线如下图所示
  
• matlab代码如下

clear all;close all; clc;
H = @(w) exp(-1j*w/2).*cos(w/2);
w = (-pi:0.01:pi);
val = H(w);
subplot(211)
plot(w, abs(val));
xlabel('w'); legend('幅频');
subplot(212)
plot(w, angle(val));
xlabel('w'); legend( '相频'); 

---

例2.

• 一阶连续系统,其微分方程如下,求其频率响应
  $$τ\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)$$
• 解.令$x(t)=e^{jwt}$,$y(t)=H(jw)e^{jwt}$,将其代入微分方程
  $$τ\frac{d[H(jw)e^{jwt}]}{dt}+H(jw)e^{jwt}=e^{jwt}\quad \Rightarrow \\ jwτH(jw)e^{jwt}+H(jw)e^{jwt}=e^{jwt}\quad \Rightarrow \\ H(jw) = \frac{1}{jwτ+1}$$