信号与系统复习笔记——线性时不变系统

信号与系统复习笔记——线性时不变系统

线性时不变系统

推导CT-LTI卷积积分

假设输入函数为 $x(t)$ ，输出为 $y(t)$ ，考虑对应变换 T{ x(t)}=y(t)T\{x(t)\}=y(t)T{ x(t)}=y(t) ，通过冲激函数可将 $x(t)$ 表示为：

$$x(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau =x(t)\ast \delta (t)$$

对两边同时做变换 $T$ 得到：

T{ x(t)}=T{ ∫−∞+∞x(τ)δ(t−τ)dτ} T\{x(t)\} = T\{\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t - \tau) d\tau \} T{ x(t)}=T{ ∫−∞+∞​x(τ)δ(t−τ)dτ}

利用LTI的 线性性质 可以得到：

y(t)=∫−∞+∞T{ x(τ)δ(t−τ)}dτ y(t)= \int_{-\infty}^{+\infty} T\{x(\tau)\delta(t - \tau) \} d\tau y(t)=∫−∞+∞​T{ x(τ)δ(t−τ)}dτ

y(t)=∫−∞+∞x(τ)T{ δ(t−τ)}dτ y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)T\{\delta(t - \tau)\} d\tau y(t)=∫−∞+∞​x(τ)T{ δ(t−τ)}dτ

利用LTI的 时不变性 可以得到：

$$y(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau =x(t)\ast h(t)$$

这里记 $h(t)$ 为系统的 零状态 状态下的单位冲激函数的响应。

推导DT-LTI卷积积分

同理CT-LTI卷积积分可得：

$$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x[k]h[n-k]=x[n]\ast h[n]$$

LTI系统的性质

性质	公式
交换律	$x(t)\ast h(t)=h(t)\ast x(t)$
分配律	$x(t)\ast [h_1(t)+h_2(t)]=x(t)\ast h_1(t)+x(t)\ast h_2(t)$
结合律	$x(t)\ast [h_1(t)\ast h_2(t)]=[x(t)\ast h_1(t)]\ast h_2(t)$
记忆性	若对于所有的 $t\ne 0$ 有 $h(t)=0$ 那么系统是无记忆的
可逆性	若存在 $h_1(t)$ 使得 $h(t)\ast h_1(t)$