20、路径与循环问题的内核边界分析

路径与循环问题的内核边界分析

在图论和算法设计领域，路径与循环问题一直是研究的核心内容。本文将深入探讨路径与循环问题的内核边界，包括多项式内核的构造、内核化的下界以及涉及禁止对的路径问题的多参数化研究。

1. 路径与循环问题的多项式内核

1.1 由顶点覆盖参数化的长循环问题

长循环问题由给定顶点覆盖的大小 $\ell$ 进行参数化，目标是判断图 $G$ 是否包含长度至少为 $k$ 的循环。该问题的输入包括图 $G$、整数 $k$ 以及顶点覆盖 $X \subseteq V(G)$。

为了实现内核化，我们使用一个二分连接图 $H = H(G, k, X)$。其中一个颜色类由独立集 $I = V(G) \setminus X$ 中的顶点组成，另一个颜色类由 $X$ 中所有不同顶点的无序对组成。当且仅当顶点 $v \in I$ 与顶点对 ${p, q} \subseteq X$ 中的 $p$ 和 $q$ 都相邻时，我们在 $v$ 和表示 ${p, q}$ 的顶点之间添加一条边。

具体的约简规则如下：
- 若 $k \leq 4$，则通过 $O(n^4)$ 算法解决问题并返回等效的虚拟实例。
- 否则，构建连接图 $H$，找到 $H$ 中的最大匹配 $M$，令 $J \subseteq I$ 为 $M$ 中边所触及的顶点集合，从 $G$ 中移除 $I \setminus J$ 中的所有顶点及其关联边，得到图 $G’$，并返回实例 $(G’, k, X)$。

经过此规则处理后，$G’$ 最多有 $\ell + \binom{\ell}{2} \in O(\ell^2)$ 个顶点。并且，图 $G$ 有长度至少