20、路径和循环问题的内核边界

路径和循环问题的内核边界

在图论和算法领域，路径和循环问题一直是研究的热点。本文将深入探讨这些问题在不同参数化下的内核边界，包括顶点覆盖、最大叶数和到簇图的调制器等参数。同时，还会给出一些问题的内核化结果以及内核化的下界。

1. 多项式内核的路径和循环问题

1.1 由顶点覆盖参数化的长循环问题

• 问题定义 ：输入为图 $G$、整数 $k$ 和顶点覆盖 $X \subseteq V(G)$（意味着 $G - X$ 是独立集），参数为 $\ell = |X|$，问题是判断 $G$ 是否包含长度至少为 $k$ 的循环。

• 内核化规则 ：

  • 若 $k \leq 4$，使用 $O(n^4)$ 算法解决问题并返回等效的虚拟实例。
  • 否则，构建二分连接图 $H = H(G, k, X)$，其中一个颜色类是独立集 $I = V(G) \setminus X$ 中的顶点，另一个颜色类是 $X$ 中所有不同顶点的无序对。若顶点 $v \in I$ 与 ${p, q} \subseteq X$ 中的 $p$ 和 $q$ 都相邻，则在 $H$ 中添加从 $v$ 到表示 ${p, q}$ 的顶点的边。
  • 设 $M$ 是 $H$ 中的最大匹配，$J \subseteq I$ 是 $M$ 中边所触及的顶点。从 $G$ 中移除 $I \setminus J$ 中的所有顶点及其关联边，得到图 $G’$，并返回实例 $(G’, k, X)$。

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