CINTA作业八：CRT

1. 手动计算 2000^2019 (mod 221)，不允许使用电脑或者其他电子设备。

       x ≡ 8 (mod 11)

       x ≡ 3 (mod 19)

221=17*13

2000^2019 (40*50)^2019 mod 221

由中国定理的代数版本

40(6,1)    50(16,11)

([(6*16)^2019 mod 17],[(1*11)^2019 mod 13]) 

由费尔马小定理

11^(16*126+3)1 mod 17 

11^(12*168+3) 1 mod 13   

可得 (5,5)  5  所以答案为 5

 2. 运用 CRT 求解：

        x ≡ 8 (mod 11)

        x ≡ 3 (mod 19)

运用EGCD

  1  0  19

  0  1  11

  1 -1   8

 -1  2   3

  3 -5   2

 -4  7   1      -4*19+7*11   得 19逆元为 7       11逆元为 7

由CRT

a=8   p=11  b=3  q=19

得  x= 8*19*7+3*11*7  41(mod 209) 

3. 运用 CRT 求解：

       x ≡ 1 (mod 5)

       x ≡ 2 (mod 7)

       x ≡ 3 (mod 9)

       x ≡ 4 (mod 11)

M=5*7*9*11=3465     b0=M/m0=693    b1=M/m1=495   b2=M/m2=385   b3=M/m3=315

                                  b0逆元为2          b1逆元为3          b2逆元为4         b3逆元为8

由CRT推广版

x= 1*693*2+2*495*3+3*385*4+4*315*8 mod 3465= 1731

4.设 m 和 n 为互素的正整数，a > 0 为一个正整数，如果

         x ≡ a (mod m)

         x ≡ a (mod n)

x 模 mn 等于什么？为什么？提示：这是一道看上去与中国剩余定理相关的问题。

x a(m^(n-1)+n^(m-1)) (mod mn)      a,m,n为已知量        

由斌头剩余定理   0<a<min(m,n)   a为正整数

有 x = (aq^(p−1) + bp^(q−1) ) mod n。化简可得答案

5. 设 p 和 q 是不同的两个素数，请证明 p^q−1 + q^p−1 ≡ 1 (mod pq)

有费尔马小定理

    p^(q-1) ≡ 1 (mod q)

    q^(p-1) ≡ 1 (mod p)

由CRT得
     p^(q-1)*1+q^(p-1)*1 = 1

则

     p^q−1 + q^p−1 ≡ 1 (mod pq)  可得证