cinta作业9

最新推荐文章于 2021-12-30 23:27:45 发布

glancelike

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分类专栏： CINTA 文章标签：抽象代数

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/glancelike/article/details/110082764

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本文介绍了如何运用中国剩余定理（CRT）来求解同余方程组，如x≡8(mod 11)和x≡3(mod 19)，并给出详细的计算过程。此外，还探讨了当m和n互素时，如果x≡a(mod m)和x≡a(mod n)，则x模mn也等于a的理论依据。最后，提出了编程题作为练习。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

利用 $c r t$ 求解 $x\equiv 8(mod \space11),x\equiv3(mod\space 19)$

令 $n = 11 * 19 = 209$
$\space mod\space 11$ 下的乘法逆元为 $7$ ， $11\space mod \space 19$ 下的乘法逆元为 $7$ ，所以 $\space n)=41$ ，
利用 $c r t$ 求解 $x\equiv 1(mod \space5),x\equiv2(mod\space 7),x\equiv3(mod\space 9),x\equiv4(mod\space 11)$
$M = 5 * 7 * 9 * 11 = 3465$ ， $b_1=M/5 = 693$ ， $693\space mod \space 5$ 下的乘法逆元为 $2$ ， $b_2=M/7=495，b_2^{-1} = 3,b_3 = M/9=385$ , $b_3^{-1}=4$ ， $b_4 = M/11=315,b_4^{-1}=8$ ，所以 $\space M)=1731$
设 $m 和 n$ 为互素的正整数， $a > 0$ 为一个正整数，如果
$x\equiv a(mod\space m)$

$x\equiv a(mod\space n)$

$x$ 模 $m n$ 等于什么？为什么？
等于 $a$ ，从第一个同余式得到 $x=mt+a,t\in \Z$ ，把 $x$ 代入第二个同余式得到 $mt+a\equiv a(mod \space n)$ ，整理得 $mt\equiv 0(mod \space n)$ ，所以 $mt\space mod\space n=0$ ，因为 $m, n$ 互素，所以 $\exist k\in \Z$ ，使得 $t = k n$ ，所以 $x = k n m + a$ ，即 $x\equiv a(mod \space mn)$ ，所以 $x$ 模 $m n$ 等于 $a$ 。

编程题

#只接受两个同余方程的程序
def egcd(a, b, f1, s1):
    while b != 0:
        f1, s1 = s1, f1 - a // b * s1
        a, b = b, a%b
    return f1, a


def get_multiply_reverse(a, b):
    r1, gcf = egcd(a, b, 1, 0)
    if gcf != 1:
        return -1
    else:
        return r1 % b


def crt(mod_m_num, m, mod_n_num, n):
    reverse_n = get_multiply_reverse(n, m)
    reverse_m = get_multiply_reverse(m, n)
    ans = (mod_m_num * n * reverse_n + mod_n_num * m * reverse_m) % (m * n)
    return ans


n1, n2, n3, n4 = map(int, input().split(' '))
x = crt(n1, n2, n3, n4)
print(x)

#接受多个同余方程
def egcd(a, b, f1, s1):
    while b != 0:
        f1, s1 = s1, f1 - a // b * s1
        a, b = b, a%b
    return f1, a


def get_multiply_reverse(a, b):
    r1, gcf = egcd(a, b, 1, 0)
    if gcf != 1:
        return -1
    else:
        return r1 % b


def multiply_crt(*args):
    mod_num = []
    mod = []
    for i in range(len(args)):
        if i % 2 == 0:
            mod_num.append(args[i])
        else:
            mod.append(args[i])
    s = 1
    for item in mod:
        s *= item
    ans = 0
    for i in range(len(mod)):
        n = s / mod[i]
        mod_reverse = get_multiply_reverse(n, mod[i])
        ans += mod_num[i] * n * mod_reverse
    return ans % s


n1, n2, n3, n4, n5, n6, n7, n8 = map(int, input().split(' '))
x = multiply_crt(n1, n2, n3, n4, n5, n6, n7, n8)
print(x)