CINTA作业四：群、子群

3. 证明命题6.6。

设 G 为群，且 a, b, c ∈ G。如果 ba = ca，则 b = c；并且，如果 ab = ac，则 b = c。

证明：          a∈G,G为群 

                     ∈G  使得 b·a·=c·a·

                     b=c

                   同理    ·a·b= ·a·b

                     b=c

4. 证明命题6.7。

设 G 是群，∀a, b ∈ G，以下性质成立。

∀m, n ∈ Z，gmgn = gm+n；

∀m, n ∈ Z，(gm)n = g mn；

∀n ∈ Z，(gh)n = (h−1g−1)−n；如果 G 是阿贝尔群，则 (gh)n = gnhn。

证明：       =g·g·……·g  (m−1次群运算)      =g·g·……·g  (n−1次群运算)

                    =g·g·……·g (m+n−1次群运算) =

                    = ··……·(n−1次群运算)

                  =

5. 证明对任意偶数阶群 G，都存在 g ∈ G，g e 且 g2 = e。

证明：

 假设偶数阶群G 不存在二阶元 g，即不存在g ∈ G ， g ≠ e 且 = e,并且群的阶数为n。那么群 G 中除单位元 e 之外的 n − 1个元素 g均不等于其逆元 ，这样每个 g 和 将相互两两配对，则n − 1必须是偶数，而又因为 n是偶数，故产生矛盾，所以偶数阶群一定有二阶元。

6. 给出命题6.8的完整证明。

群 G 的非空子集 H 是 G 的子群，当且仅当 H ∅，且对任意 a, b ∈ H，a ∈ H。

证明：   充分性   a, b ∈ H，∈ H

                            由群封闭性得 a∈ H

              必要性    a,b∈H,  ∈ H,ab=a ∈ H    满足封闭性

                             a,b,c∈H,(ab)c=a(bc)。   满足结合律

                             a∈H,有∈H ，使得e=a·∈H          存在单位元

                             b∈H，有=e∈H。          存在逆元

                             H满足群公理

7. 设G是群，对任意n ∈ N, i ∈ [0, n]，gi ∈ G。证明g0g1 · · · gn 的逆元是gn−1 · · ·g1−1 g0−1。

 证明：     

               G是群，gi​∈G，有gi​=e 
               g0g1...gn有逆元gn−1 · · ·g1−1 g0−1

                          

 

                            

 

 

 

 

 

 

 

命题 6.6